東大過去問 最大と最小

xy平面内の領域　-1≦x≦1 , -1≦y≦1 において
1-ax-by-axy の最小限が正となるような定数 a,b を座標とする点(a,b)　の範囲を図示せよ.

質問者からの補足コメント

• 申し訳ございません。
  
  >最小限?
  
  最小値です
  
  ご迷惑をおかけしました
  
  from minamino

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/02/18 13:14

• 

  ありものがたりさん
  
  こんにちは。ご回答ありがとうございます
  
  エレガントな解法を教えて頂きありがとうございます
  
  私も考えてみましたが、考えていることを答案に表現するのに苦労しました
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/02/19 03:18

• 答案の文字が小さく表示されているので
  
  https://imgur.com/a/Z3CVm9l
  
  何卒宜しくお願い致します

    補足日時：2023/02/19 03:22

• 答案にミスがありましたので
  
  訂正致します
  
  https://imgur.com/a/RNrEXGJ

  
    補足日時：2023/02/19 09:04

• stomachman
  
  おはようございます。ご回答ありがとうございます
  
  私にはとてもstomachmanさんのような解き方はできませんので
  
  平凡ですが、私の以下の答案をご評価、ご指導ください
  
  https://imgur.com/a/RNrEXGJ
  
  画像は字が小さいですが、何卒宜しくお願い致します

  
  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/02/19 09:13

• 

  stomachman様
  
  そもしも頂いた回答は高校範囲内のものでしょうか？
  
  この問題は大学入試の問題です
  
  何卒宜しくお願い致します

    補足日時：2023/02/19 12:34

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/18 18:58

f(x,y) = 1 - ax - by - axy と置く。

f(x,y) = (1 - by) - ax(1 + y).
-1≦y≦1 より 1+y≧0 なので、-1≦x≦1 の範囲で -ax(1 + y) ≧ -|a|(1+y).
f(x,y) ≧ (1 - by) - |a|(1 + y) = (1 - |a|) - (b + |a|)y.
-1≦y≦1 の範囲で -(b + |a|)y ≧ -｜b + |a|｜.
f(x,y) ≧ (1 - |a|) - (b + |a|)y ≧ (1 - |a|) -｜b + |a|｜.

f(x,y) の最小値が正となるのは、 (1 - |a|) -｜b + |a|｜ > 0 のとき。
⇔ (b + |a| ≧ 0 かつ (1 - |a|) - (b + |a|) > 0) または
　　(b + |a| < 0 かつ (1 - |a|) + (b + |a|) > 0) のとき。
⇔ (b ≧ - |a| かつ b < 1 - 2|a|) または
　　(b < - a| かつ b > -1) のとき。
図にすると、こんな感じ。(グレーに塗った部分。ただし外周の三角形は含まず。)

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2023/02/19 08:38

No.1です。

すでに解答が書かれているんで、ま、汎用性のある解法を書くか（最近どこかで同じことを書いたはずだけどな）、ってことで。

　まず、指定された領域Aの内点 {(x,y) | |x|<1 ∧ |y|<1} で
　　f(a,b,x,y) = 1 - ax - by - axy
が極小になる点(x,y)があるか? を検討すると、その必要条件である連立方程式
　　∂f/∂x = -a - ay = 0
　　∂f/∂y = -b -ax = 0
について
　　a≠0の場合: (x,y) = (-b/a,-1) が解。これは領域Aの内点ではない。
　　a=0, b≠0 の場合: 解はない。
　　a=0, b=0 の場合: 全ての(x,y)が解。（実際 f(0,0,x,y) は定数関数）なので、極値はない。
以上から、
●領域Aの内点でfが極小になることはない。したがって、最小値は領域Aの輪郭線上、すなわち4つの辺上にあるとわかった。さて、
4つの辺上でfの値 f(a,b,x,1), f(a,b,x,-1), f(a,b,1,y), f(a,b,-1,y) はどれも一次式なので、
●最小値は4つの辺の端点での値 f(a,b,1,1), f(a,b,-1,1), f(a,b,1,-1), f(a,b,-1,-1) のどれかである。だから、
● これら4つの値がどれも正であるような(a,b)の集合が答。そして、
　　f(a,b,1,1) = 1 - a - b - a = 1 - 2a - b
　　f(a,b,-1,1) = 1 + a - b + a = 1 + 2a - b
　　f(a,b,1,-1) = 1 - a + b + a = 1 + b
　　f(a,b,-1,-1) = 1 + a + b - a = 1 + b
だから
　　{(a,b) | 1 - 2a - b＞0 ∧ 1 + 2a - b ＞0 ∧ 1 + b＞0}
が答。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2023/02/18 13:51

ふ～ん。

もう10年より前に知恵袋に投稿された物と、1字1句同じだ。

No.2 回答者： satouhiroshi 回答日時： 2023/02/18 13:13

虎井さんに聞いて下さい。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/02/18 13:11

最小限?