定規とコンパスを使って、２点を通り一直線に接する円を描く方法

表題の通り、一直線とその上にない２点があるとき
これら２点を通り、一直線と接する円を、定規と
コンパスだけで描く方法を教えてください。

出典は『数学セミナー』８月号の「エレガントな
解答を求む」の第一題の「問題になってい
ない部分」です。けっこう考えてみたのですが、
どうしてもわからないので、答えが知りたくて。
（ちなみに投稿〆切はすぎておりますので
　ご心配なく）。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： zetafunction 回答日時： 2003/08/23 03:12

【問題】

与えられた 2 点 A, B を通り与えられた直線 XY に接する円を作図せよ。

【解析】
AB//XY のときは, AB の垂直 2 等分線と XY との交点 T が接点となる。AB//notXY のときは, AB と XY との交点を P, 求める円と XY との接点を T とすると PT^2=PA・PB
PA=a, PB=b, PT=x とおくと x^2=ab

【作図】
AB を直径とする円をかき, これに P からひいた接線の長さに等しく XY 上に PT をとり, 3 点 A, B, T を通る円をかく。

この回答への補足

ご解答ありがとうございます。

しかし、題意の円が「ＡＢを直径とする」とは
限りません。
例えば、直線からうんと遠くに、きわめて近い
距離の２点ＡＢがあることを想像すると、
ＡＢを直径とする円は、直線にはとても
「届きません」。

ＡＢを「かすめる」ような（したがってＡＢを
直径としない）大きな円を描けば、たぶん
直線に接することができます。

したがって、ご解答の作図法ではできません。

補足日時：2003/08/23 04:31

この回答へのお礼

【解析】の部分が気になっていたのですが
あ、なるほど、
これでできるな、と思いました。

ようするにＰＡとＰＢの長方形をつくって
この長方形と同じ面積の正方形を作図して、
その正方形の一辺の長さをＬ（abの平方根）
とすると、ＰからＡＢに
近い方にＬの長さをとって、そこをＴと
すれば、Ａ、Ｂ、Ｔを通る円を描けばいい。

長方形と同じ正方形の作図は、
長辺の方を横に、短辺をたてに見て
長方形の右下の頂点から45度の線を引き
（直角の角の２等分線）、
長辺と交わる点から、
左方向に短辺の長さだけの点をとり、
その点から垂直に直線をのばして、
最初の45度の直線と交わる点が
正方形の頂点となります。

なるほど、これでできる。
【解析】が有力なヒントでした。
とりあえず、すっきりしました。
ありがとうございます。

ということで、とりあえず答えはわかりました。
ありがとうございました。
しかし、エレガントでないので、
もう少し、質問を公開させておいてください。

解析でご指摘されているのは「方べきの定理」
といいましたっけ？　その特別な場合です。
図形の特殊な関係の発見が不可欠ですよね。
もっと機械的に、座標幾何の計算手順と
定規とコンパスの作図法を対応させる方法
がないのでしょうか。

お礼日時：2003/08/23 10:33

No.2 回答者： kony0 回答日時： 2003/08/23 10:56

下の回答は解析に基づいた、じゅうぶんエレガントな解法と思われます。

ちなみに、「方べきの定理」そのものを使っているだけで、ＡＢを「直径」とする円を描くことは必須ではありません。（たぶん実際の作図上も、直径にこだわらなくても作業量は同程度と考えます）

ちなみに、ある点Ｐからある円Ｏ（Ｏが中心）への接線の引き方は大丈夫ですよね？ＯＰを直径とする円と円Ｏの交点が、求める接線の接点となるので、その点とＰを結べばよいですね。

この回答への補足

長方形など、わかりにくいことをせず、
「適当に線分CDとその線分上の点zについて
ｃｚ＝ａ、ｚD＝ｂとなるようにする。
　ＣＤを直径とする円を描く。
　Ｚを通る垂直な直線を引き、円との交点を
　Ｆとすれば、ＺＦはルートａｂになる」
ことに、すぐ気がつきました。方べきの定理その
ものです。

＞ＯＰを直径とする円と円Ｏの交点が、求める接線の接＞点となるので、その点とＰを結べばよいですね

その点は接点になりません。
実は、これ最初に考えて見たんですが、
単純には行きません。
例えば、Ｐを円周に思いっきり近づけると
矛盾が即座に想像できます（イメージ的にいうと
接線は「90度」になるが、おっしゃるＯＰは
60度以上にはならない）。

答えは
「Ｐを中心にＯＰを半径とする円Ｃ１を描く
　Ｏを中心に与えられた半径の２倍の円Ｃ２を描く
　Ｃ１、Ｃ２の交点をＱとし、
　角ＯＰＱの２等分線を引く」。
これが求める接線となります。

補足日時：2003/08/23 11:15

この回答へのお礼

たいへん失礼しました。

zetafunctionさんの解で
完璧です。

kony0さんのおっしゃるとおり
エレガントであることも理解できました。
ＡＢを通るいろいろな円で方べきの
関係が維持されるとても美しい
図案が思い浮かびます。

浅はかでした。

実は仕事が忙しく、徹夜続きで
気分転換というか、現実逃避というか、
質問させていただいたのですが、
なかなか感動を味わい
とてもよい気分転換になりました。
〆切まであと一息、がんばれそうです。

お礼日時：2003/08/23 13:14