曲面（楕円）と直線との点の最短距離

偏微分のカテゴリに入っていた問題です。

楕円　3x^2＋4y^2=12　と
直線　x+2y=9 との点の最短距離を求める。

答えは、楕円上の点（１,3/2）と直線状の点（２,7/2）との距離√5
です。

接線を求めて…
楕円＝3x^2＋4y^2-12=0
直線＝x+2y-9
楕円の　dy/dx= -6x/8y = -3x/4y
直線の　dy/dx = -1/2
と試行錯誤はしてみたのですが、答えに辿りつきません。
解き方を教えてください。よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： inara1 回答日時： 2009/07/25 10:58

ANo.2さんの方法でも計算できますが複雑になります。

偏微分を使わない方法を紹介します。

ANo.1さんのご指摘通り、作図してどのあたりが最短距離になるかを把握したほうがいいです。問題の楕円と直線は添付図の赤色になります。図を見れば一目瞭然で、これらの最短距離は線分ACです。ここで注意しなければならないのは、作図しないで微分計算だけでやると、線分BCを最短距離としてしまう恐れがあることです。作図すれば、x が負になるほうは最短でないということが分かるので、最長距離を求めてしまうという間違いを防ぐことができます。

直線と曲線が最短距離になるのは、曲線の傾斜が直線の傾斜と一致するところです。したがって接線を求めるのは間違いではありませんが、接線を求めなくても、傾斜だけ分かればいいのです。つまり、点Ａでの楕円の傾斜は直線の傾斜（-1/2）と一致しているということから、点Aの位置を求めることができます。

楕円の式を y = と書き直せば
　　　y = ±(1/2)*√(12 - 3*x^2)
ですが、符号が-のほうは下半分の楕円なので、これは考える必要はありません（下半分を考えると点Ｃが出てきてしまいます）。したがってこれ以降、＋符号だけを考えます。すると楕円の上半分は
　　　y = (1/2)*√(12 - 3*x^2) --- (1)
になります。これを x で微分したのが楕円の傾斜になります。
　　　傾斜 = dy/dx = -3*x/{ 2*√(12 - 3*x^2 ) }
これが直線の傾斜 -1/2 に等しくなる x は
　　　-3*x/{ 2*√(12 - 3*x^2 ) } = -1/2
　　　→ x = 1
となります（ x = -1 は最短距離を与える解ではありません）。点Aのy座標は式(1)から
　　　y = 3/2
となります。つまり点Ａの座標は(1, 3/2 ) になります。図を見てもこの点がＡの座標であることが分かります。

点Ａから直線までの最短距離の求め方はいろいろありますが、Ａ点から直線に下ろした垂線の足をＣとしたとき、線分ＡＣが最短距離になることを使って求めることができます。垂線と直線とは互いに直角なので、垂線の方程式は a を未知数として
　　　y = 2*x + a
で表わされます。これが点Ａを通るので
　　　3/2 = 2*1 + a
が成り立ちます。したがって
　　　a = -1/2
つまり、垂線の方程式は
　　　y = 2*x - 1/2 --- (2)
となります。

垂線の方程式(2)が分かれば点Ｃの座標も分かるはずです。求める最短距離は線分ＡＣの長さになります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
すごく詳しい説明かつ図付きの回答ですごく感謝しています。

内容のほうなんですが、
楕円を　y＝ の式に書き直して、傾斜を求めることで
何をやっているのがすごく分かりやすかったです。
あと図があることで計算した式と図とがマッチして、
「いまここの傾斜求めたんだ、とか　いまここの接点求めたんだ」
ということが視覚的に分かったので理解しやすかったです。

お礼日時：2009/07/25 12:49

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/07/25 09:13

偏微分のカテゴリということですので適している解法かはわかりませんが。

高校数学の範囲で求めることも可能です。

楕円:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1上の点は、x=a*cosθ、y=b*sinθとおくことができます。
このとき注意すべき点として、このθは原点とのなす角には一致しません。

これを用いて距離を表すことで、求められます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

極座標（？）を用いても解けるんですね。
その方向でも解いてみます。

お礼日時：2009/07/25 12:38

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2009/07/25 07:52

＞接線を求めて…

何をしようとしたのですか。
接線を求めるのが目的ではないでしょう。
接線を求めると何がわかると思われたのですか。
＞試行錯誤をしてみた
と書かれていますが
＞楕円の　dy/dx= -6x/8y = -3x/4y
　直線の　dy/dx = -1/2
を求めただけですか。
勾配の一般式を求めただけでしょう。
接線にはなっていません。
一歩も進んでいません。
試行錯誤というのはもうちょっと先まで進んであれこれ試してみることのはずです。

図は書いてみましたか。（これも試行錯誤の作業の中に含まれます。でもやられていないようですね。）
楕円の接線と直線から最短距離になる楕円上の点との関係は見えてくるはずです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

接線ではなく勾配でした。言葉の使い方を間違えていました。
作図をしてみます。

お礼日時：2009/07/25 12:36

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2009/07/25 06:40

楕円 3x^2＋4y^2-12=0

と
-3x/4y = -1/2
から接点は、(1,3/2)

接点を通る傾き２の直線 y=2x-1/2 と、
直線 x+2y-9=0 との交点は、(2,7/2）

２点の距離は、√((2-1)^2+(7/2-3/2)^2)=√5

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

傾斜が同じ　-3x/4y=-1/2　（y=3/2x） ときを求めて
それを楕円の式に代入すれば接点が求まるんですね。

お礼日時：2009/07/25 12:32