数学 なぜ |α-β| = β-α になるのか

解答の「...... |2α-k| = |2α-(α+β)| = |α-β| = β-α ......」の |α-β| はどうして β-α になるのでしょうか。

α < β ですが -1 < β < 1 なので、α,β ともに負になることもあり、 |α-β| = α-β になるときもあると思いました。

※ 問題と解答の画像は補足に添付します。
※ 画像には審査があるので添付に時間がかかります。

質問者からの補足コメント

• 問題

  
    補足日時：2023/10/22 23:10

• 解答
  
  ※ ①は x²-kx+k+3 = 0 です。

  
    補足日時：2023/10/22 23:12

No.6 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/23 10:36

α < β

↓両辺からβを引くと
α-β<β-β
↓β-β=0だから
α-β<0

だから

|α-β|=-(α-β)=β-α

例えば

α=-1/2
β=-1/3
とすると

α=-1/2 < -1/3=β

α-β=-1/2-(-1/3)=-1/2+1/3=1/3-1/2=2/6-3/6=-1/6<0
β-α=-1/3-(-1/2)=-1/3+1/2=1/2-1/3=3/6-2/6=1/6

|α-β|=|-1/2-(-1/3)|=|-1/6|=1/6=β-α

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
完璧に理解できました。

お礼日時：2023/10/23 18:24

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/23 16:20

α < β

↓両辺からαを引くと
α-α<β-α
↓α-α=0だから
∴
0<β-α

だから

|α-β|=|β-α|=β-α

例えば

α=-2
β=-0.5
とすると

α=-2 < -0.5=β

α-β=-2-(-0.5)=-(2-0.5)=-1.5<0
β-α=-0.5-(-2)=-0.5+2=2-0.5=1.5>0

|α-β|=|-2-(-0.5)|=|-1.5|=1.5=β-α

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2023/10/23 14:38

では α=-0.8 , β=-0.1 としてみてください。

α<β で |α-β|=|-0.7|=0.7=β-α ですよね。
正数・負数 に関係なく、大ー小＝正数 ですよ。
小ー大＝負数 になりますね。
（これ 小学校の 算数レベルの 話。）

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/23 09:01

No.4 です。

＞α < β ですが -1 < β < 1 なので、α,β ともに負になることもあり

正だろうが負だろうが
　α < β
なら
　α - β < 0
ですよ？

α = -2
β = -1.5
でやってみてください。

質問者さんは、勝手に
　α > 0
と思い込んで（錯覚して）いませんか？
「α」は単なる「文字」ですから、正であることも負であることもあります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
具体例で考えてみたら、すぐに理解できました。

お礼日時：2023/10/23 18:27

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/23 00:10

絶対値とは「必ず正か0」ということですから

A>0 のとき |A| = A
A<0 のとき |A| = -A (>0)
A=0 のとき |A| = A = -A (=0)

と書けます。

お示しのケースは
　α - β ≦ 0
なんでしょう。

No.3 回答者： kenshiron 回答日時： 2023/10/23 00:09

共に負であっても、α<βの大小関係が変わらないなら、βーαは正、αーβは必ず負、になりますよ。

数直線を書いてみると、αより必ず右、プラスの方向にβが居るわけですから。

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/10/22 23:17

何を基本的なごとを。

α<βならば、0<β-αだよ。逆も成り立つ。
実数の範囲で、正負に関係無く常に成り立つ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2023/10/23 18:26

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/10/22 23:15

「α < β」って自分で書いてるじゃん. それが全て.

いちおうかくにんだけど, 「α < β かつ α-β > 0」ってどういうときに発生するか理解できてるよね?