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前に[0.999…]=0ではないか?という疑問を提示しましたが、これはn→∞の極限でのガウス記号の問題と解釈できます。というか解釈して、このような問題では普通はさみうちの原理を使うということから、それを応用して[0.999…]がどうなるか試してみました。
0.999…ー1<[0.999…]≦0.999…
と表せるとすると、0.999…ー1=0、0.999…<2とすれば、0<[0.999…]<2となります。
[0.999…]は兎にも角にも整数であり、0より大で2より小さい整数となると1しかないことから、
[0.999…]=1となる。
というものですが、どうでしょうか?0.999…<2はいいとして、0.999…ー1=0とするところに少し引っ掛かりを覚えるかもしれません。もしかすると、0.999…ー1≦0で0より小さい、即ちマイナスになるかもしれないという主張があるかもしれませんが、ある数が整数Nであるとは、N.000…と小数点以下にどんな任意の数の0をとっても、0以外の数が出現しないことだと定義すれば、0.999…ー1は0となります。また、その場合、0.999…=1となり、その=は1=1と同じ意味になり、極限としてどこまでも近付くということではないように感じられるかもしれませんが、x=Yとはどういうことかと定義を試みてみると、
|εーY|>|X-Y| ε;ε≠Yの任意の数 が成り立つことだとすれば結局、0.999…=1は実質、1=1の=と同じ意味で=1として差し支えないとできるでしょう。
数学を専門的に学べばもっと厳密な理論と定義が展開できる、もしくは実際に展開されていることが分かるのかもしれませんが、数学好きのアマチュアとしては、このレベルの論理でよいのではないかと思うのですが、如何か?

A 回答 (6件)

色々な意見は既に出てるから、違った見方を1個。



1/3=0.3333・・・・・・
1/9=0.1111・・・・・・
こうなってしまうのは、10進法で書いてるからです。

3進法を使えば、1/3=1/10なので0.1
9進法を使えば、1/9=1/10なので0.1

では通常の10進法で。
分数の定義により、1/3 + 1/3 + 1/3 =1

1/3を10進法で小数表記すると0.3333・・・
1/3 + 1/3 + 1/3 =0.3333・・・ + 0.3333・・・ + 0.3333・・・ =0.9999 ・・・

分数の定義により、1/3 + 1/3 + 1/3 =1だった訳だから
0.9999 ・・・=1 になるしか無いのです。

1/9=0.1111・・・・・・の辺々を9個足しても同じ。

つまり、数そのものと表現(表記法)は違うと言う事です。
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いや、だからそれ中学高校のレベルで 0.999……=1 だということを(副次的に)学習することにもなってるというのに、何にあらがっているんですか?


0.999…は全く狂い無く整数1と同じ値なのであって、等しくないものを近似的に等しいと見なしたようなものでは有りません。

前段の「0.999…ー1<[0.999…]≦0.999… と表せるとすると」の下りは冗長なだけです。
0.999…=1 よって、 [0.999…]=[1]=1 だけで済む話。
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その「極限としてどこまでも近付く」が問題だと、前回質問に回答した。


0.999… は 1 に近づく数列 Σ[k=1→n] 9/10^k の個々の項ではなく、
その数列が近づく先のひとつの値 lim[n→∞] Σ[k=1→n] 9/10^k と = なんだ。
「=1として差し支えない」んじゃなんく、ほんとに =1 なんだよ。
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An=(a=1 to n) 9Σ10^(-a)


みたいに考えて、lim n→∞
として、ε-δで収束する値を示してもよいですけど、

0.999・・・=0.111・・・x9=1/9 x 9=1
と簡単に等式で結ぶこともできます。
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全く問題無しです。

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0.999…=1と言う証明方法はほかにもあります。



> 数学好きのアマチュアとしては、このレベルの論理でよいのでは
数学の答えは一つだけです。
アマチュアと言えどっも、曖昧さを残してはいけません。
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