『｛∧、∨、￢、→、∀、∃、⊥…｝その他は？』

「数理論理学、別名、記号論理学は観念、概念を記号に変換し、演算規則を当てはめ、計算するように論理を展開する」（wikipediaの説明を自分なりに要約）
記号論理学では、何十種類かの記号（∧や∨など）を使って論理を展開していきますが、それら論理記号の一覧表を見ているうちに、ふと、妙な疑問が湧いてきました。
これら論理記号の種類には上限があるのか？です。
今後も記号論理学が発展していくにつれ、新しい論理記号、従来の論理記号の組み合わせでは表せない新種の論理記号が次々と考案、定義されその数には限界がない、ということはあるのでしょうか？
それとも、現状ぐらいが人が考え出せる、定義できる限界なのか？
仮に、超知性体なるものがいて、数百、数千種類の論理記号を使い、論理を展開したとすると、それは人には理解できないものになる、そういうことになるのでしょうか？

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/11/15 14:13

記号列が明確な規則で生成・写像されるという体系なら、数学で扱える。

記号論理の体系は構文(生成)および推論と付値(写像)の規則でできているから、数学の対象になり、その文法が数学で記述される。これが数理論理学です。
　古典的な命題論理、一階述語論理のみならず、高階論理、多値論理、様相論理、量子論理などなどの体系を拵えるたびに、そりゃ勝手な記号を誂えて構文規則・推論規則を作ることはできます。が、それがいくらかでも意義のある理論として自由な展開ができるようにするためには明確な意味付け（解釈）を与えねばならない。その意味付けを数学で記述する以上に旨い手はなさそうです。（例えば様相論理の意味は、多世界が相互参照で繋がったグラフ、というモデルで表される。）すると、どんな記号も数学における集合の概念に還元されることになるんで、それが「従来の論理記号の組み合わせでは表せない新種」であるとしても、「従来の数学に使われる記号の組み合わせでなら表せるものの略記」であることからは逃れられないでしょう。
　かくて、仰るところの「超知性体」はまずもって「記号列では原理的に表せないものを対象とする数学」を持っている必要があるでしょうね。それをヒトが学んでわかるかどうか。さて、教わってみれば案外簡単かもしれんですよ。

この回答へのお礼

興味深いご意見、ありがとうございます。なれど…どうも、ここら辺が（現状では）限界のようですね。

お礼日時：2021/11/17 11:05