極限値

a>1,p>0で
(1)lim x^n/a^x (n∈N)　（x→∞）
(2)lim x^p/a^x 　　　　（x→∞）
この2つの問題がどういうふう極限値を求めたらいいか分かりません。“コーシーの平均値の定理”や“ロピタルの定理”を使って解くと思うんですが、どうしたらいいか分からないのでよろしくお願いしますm(_ _)m

No.1 ベストアンサー 回答者： yoikagari 回答日時： 2005/06/04 17:15

ロピタルの定理を使ったら両方とも一発なんですけど

以後、x→∞は省略します。

(1)
lim(x^n/a^x)=lim{n/(loga)}*{x^(n-1)/a^x}=lim{n(n-1)/(loga)^2}*{x^(n-2)/a^x}=…=lim{n!/(loga)^n}*{1/a^x}=0

(2)
m-1＜p≦mとなるようなmを考える
lim(x^p/a^x)=lim{p/(loga)}*{x^(p-1)/a^x}=lim{p(p-1)/(loga)^2}*{x^(p-2)/a^x}=…=lim[{p(p-1)*…*(p-m+1)}/{(loga)^m}]*{x^(p-m)/a^x}=lim[{p(p-1)*…*(p-m+1)}/{(loga)^m}]*[1/{x^(m-p)}a^x]=0

この回答へのお礼

ありがとうございました(^^)助かりました。

お礼日時：2005/06/04 17:45