極限値の問題です 248番の(1)はロピタルの定理を使って解けますか? もし解けないのなら理由も一緒

極限値の問題です
248番の(1)はロピタルの定理を使って解けますか?
もし解けないのなら理由も一緒にお願いします

No.7 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/05/25 13:58

どう適用するか書いてないけど

分子 = f(x) = 6(1/√(3-x) -1/√3)
分母 = g(x) = x
なら

f'(x) = 3/{(3-x)√(3-x)} → f'(0) = 1/√(3)
g'(x) = 1, g'(0)=1
f'(x)/g'(x) = 1/√(3) で解けますね。
ロピタルの適用条件も全部クリアしてます。

だけど、 f(x) を微分することとこの問題は等価でなので
微分の証明にロピタルで同じ微分を使うという構図になってる。
このケースにロピタルを使っても良いと思うけど
微分の収束自身の証明にはこの方法は無限ループしてて
使えないですよね。

他の分け方は試してないです。


約分で頑張ると
limの中身 = h(x) = (6/x)(1/√(3-x) -1/√3)
=(6/x)(1/√(3-x) -1/√3)(1/√(3-x) +1/√3)/(1/√(3-x) +1/√3)
=(6/x){1/(3-x) - 1/3} /(1/√(3-x) +1/√3)
=6[1/{(3-x)・3}] /(1/√(3-x) +1/√3)

で
分子は 2/3
分母は 2/√(3)
に収束するから
lim[x→0]h(x) ~ 1/√(3) = √(3)/3

この回答へのお礼

ありがとうございます!
1番分かりやすかったのでベストアンサーにさせて頂きますm(_ _)m

お礼日時：2022/05/25 14:55

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2022/05/25 12:04

もとの式を分母ｘ、分子6{1/√(3-ｘ))-1/√3｝の分数式とみなして

ロピタルの定理を使えばいけます。

この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時：2022/05/25 14:54

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/25 06:10

解けません。

この問題にロピタルの定理を使うと、
lim (1/√(3-x) - 1/√3)/x の値を使って
lim (1/√(3-x) - 1/√3)/x を計算することになります。
計算が一歩も進んでいません。
何か他の方法を使って、この極限を求めないと
値は出ません。

この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時：2022/05/25 14:54

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/05/25 00:56

ほそく.

微分を差分商の極限で定義するなら, この極限値を「微分を使って求める」のは本当は不適切だったりする. そして, 微分が不適切ならロピタルの定理は使いようがない.

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/24 22:15

f(x)=6/√(3-x)

とすると
f(0)=6/√3

f'(0)=lim_{x→0}{f(x)-f(0)}/x
f'(0)=lim_{x→0}{6/√(3-x)-6/√3}/x
f'(0)=lim_{x→0}(6/x){1/√(3-x)-1/√3} …(1)

f(x)=6(3-x)^(-1/2)
f'(x)=3(3-x)^(-3/2)
f'(0)=3*3^(-3/2)=3^(-1/2)=1/√3
↓これと(1)から
lim_{x→0}(6/x){1/√(3-x)-1/√3}=f'(0)=1/√3

この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時：2022/05/25 14:54

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/05/24 21:38

ロピタルの定理を使う途中 (微分した時点) で答えが出ちゃうんだけどね.

f(x) = 6/√(3-x) の x=0 における微分係数だから.

この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時：2022/05/25 14:54

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/24 21:30

解けます。

　(6/x){√3-√(3-x)}/{√3√(3-x)}
　　=(6/{√3√(3-x)}) {√3-√(3-x)}/x

これの始めの項は
　(6/{√3√(3-x)}) → 6/3=2

後の項　{√3-√(3-x)}/x　にロピタルを使う。
　{√3-√(3-x)}/x → [ 0-(-1)/√(3-x)} ]/1 → 1/√3

結局
　2/√3

この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時：2022/05/25 14:54