微分

Ｓ＝[ｖ（ｎｇ（ｎ））－ｃ]・ｎｇ（ｎ）をｎについて微分したいのですが、どうしてもうまくいきません！！どなたかできるかたおねがいします！！

No.3 ベストアンサー 回答者： noname#17965 回答日時： 2004/05/09 23:56

公式

関数 f,g,hの微分をそれぞれf',g',h'とするとき
(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'

証明
(fgh)'={f(gh)}'=f'gh+f(gh)'
=f'gh+f{g'h+gh'}
=f'gh+fg'h+fgh'
ここでは(fg)'=f'g+fg'は自明としています。

Ｎｏ１の回答は惜しくもミスがあります。内容はdizzy77さんの指摘通りです。

この回答へのお礼

大変おそくなりました、ありがとうございました。

お礼日時：2004/05/22 16:28

No.5 回答者： KENZOU 回答日時： 2004/05/10 12:01

＃２のKENZOUです。

＞公式のようなものはないのでしょうか？？
合成関数の微分公式として参考までに下記URLをあげておきます。

参考URL：http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula …

この回答へのお礼

合成関数の公式大丈夫でした^_^;・・けど、わざわざありがとうございました。

お礼日時：2004/05/22 16:30

No.4 回答者： adinat 回答日時： 2004/05/10 00:26

♯1です。

まったくその通りです。微分記号忘れてました、ごめんなさい。

♯3さんのおっしゃる通りで、三つ以上の積の微分も同様にできます。
ここではfghを三つの積と思わず、fと(gh)二つの積と思って
ひとまず二つの積に関する公式を使うところがミソですね。

n個の積についても全く同様に、
(どれか1個微分したやつ×残り)のn個の和になることは
数学的帰納法を使えば簡単に証明できます。

多変数の場合も有名なライプニッツ・ルールというのが知られてます。

そうですか、経済で出てくることだったのですね。
ｎと書いてあるから離散だし、差分なのか、とか思いましたが、
合成の差分ともなると結構汚い式になりますしね。

この回答へのお礼

お手間かけました、ありがとうございました。

お礼日時：2004/05/22 16:29

No.2 回答者： KENZOU 回答日時： 2004/05/09 19:54

＞今回のようなｖ・ｎ・ｇというような三つのもののやり方がわかりません

　
次のようなやり方でどうでしょうか。
φ＝nｇ(n)とおくとS＝[v(φ)－c]φと書けます。
そこでSをφで微分すると
　ds/dφ＝(ds/dn)(dn/dφ)
　　　＝(dv/dφ)φ＋(v－c)　　(1)
・φをnで微分する(dφ/dn≡φ’と書く）
　φ’＝g＋ng'→　dn/dφ＝1/(g＋ng')
・ｖをφで微分すると
　dv/dφ＝(dv/dn)(dn/dφ)＝v'/φ’＝v'/(g＋ng')
上の結果を(1)に入れると
　s'/(g＋ng')＝v'φ/(g＋ng')＋(v－c）
これから
　s'＝v'φ＋(v－c)(g＋ng')
　　＝v'ng(n)＋(v－c)(g＋ng')

この回答へのお礼

そうすると答えがあわないんです・・・公式のようなものはないのでしょうか？？

お礼日時：2004/05/09 22:09

No.1 回答者： adinat 回答日時： 2004/05/09 16:12

何も書かれていないですから，cは定数と思うことにします．

そうすると普通に積の微分公式と，合成関数の微分公式から，

[ｖ（ｎｇ（ｎ））－ｃ]・ｇ（ｎ）＋[ｖ（ｎｇ（ｎ））－ｃ]・ｎｇ'（ｎ）＋[（ｇ（ｎ）＋ｎｇ’（ｎ））ｖ（ｎｇ（ｎ））]・ｎｇ（ｎ）

になります．

なにやら意味ありげな式で，出典が気になります．＾＾

この回答へのお礼

迅速な回答ありがとうございます。。すいませんｃは定数です。
積の微分と合成関数を利用するのはわかったのですが、わたしは積の微分ではＡ・Ｂというような二つの項（？）のものしか計算したことがなく、今回のようなｖ・ｎ・ｇというような三つのもののやり方がわかりません・・なので、そこのところをもう少し教えていただきたいです！！

それから、わたしの手元には一応答えらしき（多分）ものがあるのですが、[（ｇ（ｎ）＋ｎｇ’（ｎ））ｖ（ｎｇ（ｎ））]・ｎｇ（ｎ）の中のｖには´がついています。どうでしょうか？？

またこの式は、面積（Ｓ）が得られる効用の大きさをあらわし、ｎとは企業数を表すものです。ｎが増えれば面積が小さくなる・・（つまりこの場合独占の問題について考えるものなんですが）ということをいいたいのです。その過程において、この式の計算結果が必要だったんです。といっても、このカテゴリーは数学なので、このような経済学のことを言ってもいいのかと思いますが・・^_^;ただ数学部分のところだったので、数学のカテゴリーにいれさせてもらいました。

お礼日時：2004/05/09 16:37