プロが教えるわが家の防犯対策術!

∫[0→1](logx)dx
を求めよ。
これを計算すると
(x*logx)[0→1]-x[0→1]
そこで logx って0にならないですよね・・・。
どうゆうことなのか分かりません。
すいませんが宜しくお願い致します。

A 回答 (5件)

理系大学4年です。

いやー、懐かしいです、広義積分。
show-tenさんは高校生かな?頑張ってくださいね。
さて、lim x→0 xlogx で困っているということですね。
totoro7963さんのおっしゃる通りに
lim ε→∞ (-1/x*logx)として考えるのもよろしいかと思いますが、
これも厳密な証明が必要で、煩雑になります。
そこで、もっと簡便なやり方を考えました。
∫[0→1]logx とは、x軸、y軸およびy=logx で囲まれた面積です。
更に、y=logxの逆関数はy=e^xなので、先の広義積分は
∫[-∞→0] e^x dx となり、1に収束します。
ただし、先の広義積分は0 < x < 1では常にy < 0 となるので
最終的な答えは、「-1に収束する」です。
    • good
    • 2
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
理解できました。
逆関数の e^xを使うのですね。なるほど。
ありがとうございます。

お礼日時:2006/11/29 21:48

煩雑になるでしょう?


やっぱり面積として考えるのが得策と思いますがね。
    • good
    • 2
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
面積で考えたほうが確かに簡単ですね。

お礼日時:2006/11/30 18:38

No1です。


>1+y+y^2/2<e^yだから
↑ここが理解できません。

これはテイラー展開のy^2の項までを取ったものですが、
証明は次のようにすると良いでしょう。
f(y)=e^y-(1+y+y^2/2)
f'(y)=e^y-(1+y)
g(y)=e^y-(1+y)とおく。
g'(y)=e^y-1
y>0でe^y>1 より
y>0でg'(y)>0
従ってgはy>0で単調増加
g(0)=0より
y>0でg(y)>0
よってy>0でf'(y)=g(y)>0
y>0でfは単調増加 f(0)=0より
y>0でf(y)>0

>これでなぜ
lim(y→∞)y/e^y→0
になるのでしょうか。
これははさみうちの原理を使っています。
0<(y/e^y)<y/(1+y+y^2/2)
はいいですよね。
y>0ならばyに関わらず成り立ちます。
y→∞でy/(1+y+y^2/2)→0
だからはさみうちの原理から
y/e^y→0
 がいえます。
    • good
    • 2
この回答へのお礼

度々のご回答ありがとうございます。
内容の理解はできました。
テイラー展開ですか。勉強してみます。

お礼日時:2006/11/30 18:33

No.1です。


lim(x→∞)((1/x*logx)=0
の証明ですが
x=e^yとおきます。
lim(x→∞)((1/x*logx)=lim(y→∞)(y/e^y)
ここでy>0のとき
1+y+y^2/2<e^yだから
1/(1+y+y^2/2)>1/e^y
したがって
0<(y/e^y)<y/(1+y+y^2/2)
y→∞でy/(1+y+y^2/2)→0
    • good
    • 1
この回答へのお礼

度々回答ありがとうございます。
>x=e^yとおきます。
>lim(x→∞)((1/x*logx)=lim(y→∞)(y/e^y)
↑ここまでは理解できます。

>ここでy>0のとき
>1+y+y^2/2<e^yだから
↑ここが理解できません。
なぜ
1+y+y^2/2
の数式が出てきたのでしょうか?

>1/(1+y+y^2/2)>1/e^y
>したがって
>0<(y/e^y)<y/(1+y+y^2/2)
↑ここは前の数式が理解できれば分かります。

>y→∞でy/(1+y+y^2/2)→0
↑ここもよく分からないです。
y/(1+y+y^2/2)→0
は分母にy^2があるし分かるのですが、これでなぜ
lim(y→∞)y/e^y→0
になるのでしょうか。

ほんとにバカですいません・・・。
お時間があれば教えてください。

お礼日時:2006/11/30 00:59

これは広義積分といわれる積分で


∫[0→1](logx)dx
はlim(ε→0)∫[ε→1](logx)dxを意味しています。
従って求める積分は
lim(ε→0)((x*logx)[ε→1]-x[ε→1])
となります。
このなかで問題となるのは
lim(ε→0)((ε*logε)の計算ですが
これはε=1/xとおき
lim(x→∞)((1/x*log1/x)
=lim(x→∞)((-1/x*logx)=0
と計算できます。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ただ
lim(x→∞)((-1/x*logx)=0
はなぜ0になるのでしょうか?

お礼日時:2006/11/29 21:46

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!