![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
理系大学4年です。
いやー、懐かしいです、広義積分。show-tenさんは高校生かな?頑張ってくださいね。
さて、lim x→0 xlogx で困っているということですね。
totoro7963さんのおっしゃる通りに
lim ε→∞ (-1/x*logx)として考えるのもよろしいかと思いますが、
これも厳密な証明が必要で、煩雑になります。
そこで、もっと簡便なやり方を考えました。
∫[0→1]logx とは、x軸、y軸およびy=logx で囲まれた面積です。
更に、y=logxの逆関数はy=e^xなので、先の広義積分は
∫[-∞→0] e^x dx となり、1に収束します。
ただし、先の広義積分は0 < x < 1では常にy < 0 となるので
最終的な答えは、「-1に収束する」です。
No.4
- 回答日時:
No1です。
>1+y+y^2/2<e^yだから
↑ここが理解できません。
これはテイラー展開のy^2の項までを取ったものですが、
証明は次のようにすると良いでしょう。
f(y)=e^y-(1+y+y^2/2)
f'(y)=e^y-(1+y)
g(y)=e^y-(1+y)とおく。
g'(y)=e^y-1
y>0でe^y>1 より
y>0でg'(y)>0
従ってgはy>0で単調増加
g(0)=0より
y>0でg(y)>0
よってy>0でf'(y)=g(y)>0
y>0でfは単調増加 f(0)=0より
y>0でf(y)>0
>これでなぜ
lim(y→∞)y/e^y→0
になるのでしょうか。
これははさみうちの原理を使っています。
0<(y/e^y)<y/(1+y+y^2/2)
はいいですよね。
y>0ならばyに関わらず成り立ちます。
y→∞でy/(1+y+y^2/2)→0
だからはさみうちの原理から
y/e^y→0
がいえます。
No.3
- 回答日時:
No.1です。
lim(x→∞)((1/x*logx)=0
の証明ですが
x=e^yとおきます。
lim(x→∞)((1/x*logx)=lim(y→∞)(y/e^y)
ここでy>0のとき
1+y+y^2/2<e^yだから
1/(1+y+y^2/2)>1/e^y
したがって
0<(y/e^y)<y/(1+y+y^2/2)
y→∞でy/(1+y+y^2/2)→0
度々回答ありがとうございます。
>x=e^yとおきます。
>lim(x→∞)((1/x*logx)=lim(y→∞)(y/e^y)
↑ここまでは理解できます。
>ここでy>0のとき
>1+y+y^2/2<e^yだから
↑ここが理解できません。
なぜ
1+y+y^2/2
の数式が出てきたのでしょうか?
>1/(1+y+y^2/2)>1/e^y
>したがって
>0<(y/e^y)<y/(1+y+y^2/2)
↑ここは前の数式が理解できれば分かります。
>y→∞でy/(1+y+y^2/2)→0
↑ここもよく分からないです。
y/(1+y+y^2/2)→0
は分母にy^2があるし分かるのですが、これでなぜ
lim(y→∞)y/e^y→0
になるのでしょうか。
ほんとにバカですいません・・・。
お時間があれば教えてください。
No.1
- 回答日時:
これは広義積分といわれる積分で
∫[0→1](logx)dx
はlim(ε→0)∫[ε→1](logx)dxを意味しています。
従って求める積分は
lim(ε→0)((x*logx)[ε→1]-x[ε→1])
となります。
このなかで問題となるのは
lim(ε→0)((ε*logε)の計算ですが
これはε=1/xとおき
lim(x→∞)((1/x*log1/x)
=lim(x→∞)((-1/x*logx)=0
と計算できます。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 積分について教えてほしいです。 I=∫[0→1] 1/√(-logx) dx、J=∫[0→1] √( 1 2023/06/11 14:39
- 数学 微分積分についての問題がわからないです。 2 2022/08/08 15:16
- 数学 大学数学の微積分の問題です。 曲線 y^2=x(logx)^2 x>0 y^2=0 x=0 のループ 1 2022/07/05 13:47
- 数学 ∫(logx)ⁿdx の計算を証明してください。 2 2022/08/08 21:04
- 数学 lim1/logx (x→∞) =0 の証明をお願いします 3 2022/08/03 21:01
- 数学 logx/9の微分って1/9xですか? 2 2022/07/23 21:04
- 数学 数3 微分 底を変換するところまでは分かるんですけど、1/log10・(logx)´になるところがわ 1 2023/05/15 15:20
- 数学 y=(x^2-2x-1)logx のn次導関数を求めて頂きたいです! ライプニッツの公式を用いてみよ 3 2023/07/28 18:53
- 計算機科学 -logx+(2e-x)/x=0の解 2 2023/07/04 22:05
- 数学 なぜxがe^logxと変形できるのですか? 5 2023/05/14 12:31
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について
-
【数学】 lim x→a ↑これってど...
-
極限
-
次の無限数列の問題の解説を教...
-
数学の極限の問題です! (1)l...
-
定義関数(特性関数)の上極限...
-
極限 証明
-
極限について
-
極限とは、限りなく近づくが決...
-
定積分
-
lim n→∞のn→∞は無限大と呼ぶと...
-
偏微分の問題 z = √|x y|のR2...
-
logx/xの極限でロピタルはダメ??
-
「微分可能性を調べよ」という...
-
ガウス記号の極限問題
-
テーラー展開時のオーダーについて
-
√(n+1)-√(n )の極限について。...
-
1/0は何故発散すると言えるので...
-
極限の質問です。 lim x•e^(1/x...
-
2変数関数のロピタルの定理
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について
-
【数学】 lim x→a ↑これってど...
-
極限について
-
数学の極限の問題です! (1)l...
-
この極限を求める問題で対数を...
-
1/0は何故発散すると言えるので...
-
極限 証明
-
極限
-
高3女子です lim(x→1+0) x/x-1...
-
logx/xの極限でロピタルはダメ??
-
f(x)=logx/x (x>0) の極限の求...
-
2変数関数のロピタルの定理
-
lim[x->1] (x+1)/(x-1)^2
-
「極限を調べろ」の問題は常に...
-
数3極限についてです。 lim(x→∞...
-
数Ⅲ極限です。 limx→-♾️ sinx/x...
-
lim[x→0]1/(1+exp(1/x)) の極...
-
定義関数(特性関数)の上極限...
-
高校数学 極限 lim[n→∞]|1+i/...
-
極限とは、限りなく近づくが決...
おすすめ情報