No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)はふつうに解けばよいでしょう。
質問者さんも、ここは解けていますよね?(n+5) * a(n+1) - (2n+8) * an + (n+3) * a(n-1) = 0
(n ≧ 2)
で bn = a(n+1) - an とおいて、
(n+5) * a(n+1) - [(n+5) + (n+3)] * an + (n+3) * a(n-1) = 0
から
(n+5) * bn - (n+3) * b(n-1) = 0
よって、
bn = [(n+3)/(n+5)] * b(n-1) (A)
(2)に進みます。
質問文中の解答 an = n/(n+3) は変ですよ。 ←多分この式ですよね? an = (n/n) + 3 = 4 はあり得ないので。
an=n/(n+3) であれば
a3 = 3/(3+3) = 1/2
従って、定義から
b2 = a3 - a2 = 1/2 - 1/3 = 1/3
となるですが、(A)を使うと
b1 = 1/3 - 1/5 = 2/15
b2 = (5/7) * b1
= 2/21
と合いませんよ!
ということで、(2)をきちんと解いてみます。
(2ー1)まず、(A)から、bn の一般式を求めましょう。
bn=(n+3)/(n+5)*b(n-1)
をず~っと b2 まで展開すれば、
bn= [(n+3)(n+2)*・・・*5/(n+5)(n+4)*・・・*7]*b1
= [6*5/(n+5)(n+4)]*b1
となります。 b1= 1/3 - 1/5 = 2/15 ですから
bn= [6*5/(n+5)(n+4)]*(2/15)
= 4/(n+5)(n+4) (B)
となります。
(2ー2)次に、これから an の一般式を求めましょう。
(B)を定義通り an に書き直すと
a(n+1) = an + 4/(n+5)(n+4)
一般式として、 an で表わしたいので、(n+1)→n に書き直して、
an = a(n-1) + 4/(n+4)(n+3)
これをどんどん a3 まで展開すれば、
an = a2 + 4* [1/(n+4)(n+3) + 1/(n+3)(n+2) + ・・・ + 1/(7*6)]
= a2 + 4*(n-2)/[(n+4)*6] ←ここまでの変形は省略
= a2 + (2/3)*(n-2)/(n+4)
になります。a2 = 1/3 なので
an = 1/3 + (2/3)*(n-2)/(n+4)
= [ n+4 +2n-4 ] /[(n+4)*3]
= n/(n+4) (C)
う~ん、質問中の解答と、ちょっとだけ違いますね。これで検算すると、
a3 = 3/7
b2 = a3 - a2
= 3/7 - 1/3
= 2/21
となって、(B)式で計算したものと一致します。
つまり、(2)の答は(C)のようです。
(3)ついでにやってしまいましょう。
(C)式から、n = 4*N とおいて、
lim[n→∞](an)^n
= lim[n→∞][n/(n+4)]^n
= lim[N→∞][4*N/(4*N+4)]^(4*N)
= lim[N→∞]{1/[1+(1/N)]}^(4*N)
= (1/e)^4
∵ lim[N→∞][1+(1/N)]^N = e (自然対数の底)
こちらは、質問文中の解答と一致しますね。
No.1
- 回答日時:
(1)
(n+5){a(n+1)-an}-(n+3){an-a(n-1)}=0
(n+5)bn-(n+3)b(n-1)=0
bn=(n+3)/(n+5)*b(n-1)
????
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