･M(t)＝E(e^tX) (積率母関数)、 ･L(t)＝log M(t) としたとき、 lim L

･M(t)＝E(e^tX) (積率母関数)、
･L(t)＝log M(t) としたとき、

lim L'( ) ＝ L'(lim ) (n→∞ に飛ばすこととする。)
が成り立つのはなぜですか？

具体的には、
lim L'(t/√n) ＝ L'(lim t/√n) (＝ L'(0) ＝ 0)
を示したいです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/31 23:17

積分記号下の微分ってやつだね。

L’(t) = (d/dt) L(t) = (d/dt) log M(t) = M’(t)/M(t),
L”(t) = { M’(t)/M(t) }’ = { M”(t)M(t) - M’(t)^2 }/M(t)^2.
M”(t) が存在すれば L”(t) も存在する。

X の確率密度関数を f(x) としよう。
M’(t) = (d/dt) M(t) = (d/dt) E[ e^(tX) ] = (d/dt) ∫ e^(tx) f(x) dx
　　= ∫ (∂/∂t) e^(tx) f(x) dx = ∫ x e^(tx) f(x) dx,
M”(t) = (d/dt) ∫ x e^(tx) f(x) dx
　　= ∫ (∂/∂t) x e^(tx) f(x) dx = ∫ x^2 e^(tx) f(x) dx.
これが t = 0 でも成り立つから、
L’(t) は t = 0 で微分可能で、したがって連続でもある。

よって、lim[n→∞] a(n) = 0 となる任意の a(n) について
lim[n→∞] L’(a(n)) = L’(lim[n→∞] a(n)) = L’(0).

L’(0) = M’(t)/M(t) = ∫ x e^(0x) f(x) dx / ∫ e^(0x) f(x) dx
　　= E[ x ]/1 が
= 0 かどうかは、 X によるが。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2024/07/31 10:08

E[e^(tX)]を、確率変数が従う確率密度関数を使って書き下す。

また、プライム(')なんか使わないで、何による微分なのかをはっきりさせる。まずはそこから。