点(1,2,-1))を通り、2平面 x+y+z=0,x-y+z=1の交線と平行である直線の方程式は？

点(1,2,-1))を通り、2平面　x+y+z=0,x-y+z=1の交線と平行である直線の方程式は？

求め方を教えて下さい！

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/01/05 00:19

簡単なことは簡単に済まそう。

(1,1,1)・(x,y,z) = 0 と (1,-1,1)・(x,y,z) = 1 の交線に平行ならば、
直線の方向ベクトルは (1,1,1)×(1,-1,1) = (2,0,-2) // (1,0,-1).
かつ (1,2,-1) を通るなら、媒介変数表示で (x,y,z) = (1,2,-1) + t(1,0,-1)
{tは実数} と書ける。成分ごとに書くと、
x = 1 + t,
y = 2,
z = -1 - t.
ここから t を消去すると、 x + z = 0, y = 2 となる。 ←これが求める直線の式。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/01/04 21:16

普通はベクトル的に考えますが

少し省エネでベクトルは用いないで求めると
x+y+z=0…①
x-y+z=1…②
①-②より　2y=-1 ⇔y=-1/2
①+②より　2x+2z=1　⇔z=-x+(1/2)
ゆえに　交線の式は
z=-x+(1/2),y=(-1/2) ←←←つまり　交線は　平面y=-1/2上にあり
ｚ座標とx座標の関係が　z=-x+(1/2)
(平面y=-1/2上ということをあまり意識しなければ)
z=-x+(1/2)は　xz平面上(y=0という平面上）で傾き-1,ｚ切片＝(1/2)の直線ということですから
xz平面に平行な平面y=-1/2上にある交線：z=-x+(1/2),y=(-1/2)との位置関係はあたかも
前者の平面y=0とそこに書かれた直線z=-x+(1/2)を
平面ごとｙ軸方向に-1/2だけスライド（平行移動）したものが
①②の交線ということになります

そこで、y座標は度外視して
傾きが-1で　(1,●,-1)を通る直線の式を求めます
そのような直線の切片をbとすれば
z=-x+b
x=1,z=-1代入で
-1=-1+b
b=0
ゆえに、該当の直線はz=-x⇔x=-zと表されます
●=2だから
求める平行線はy=2という平面上にあり
求めるべき直線の式は
x=-z,y=-2