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「平面の任意の合同変換は,直線に関する対称移動(鏡映変換)を高々3つ合成して得られる」

これは一体どういうことなのでしょうか。
わかりやすく解説していただけると有り難いです。

ご回答よろしくお願い致します。

A 回答 (2件)

任意の2つの合同な△ABCと△A'B'C'に対して、一方を他方に


移す変換を考えれば十分です。

1. △ABCと△A'B'C'とが裏返ししないと重ならない場合は任意の
 直線について1回対称移動します

2. △ABCと△A'B'C'が回転と平行移動だけで重なり、裏返しの
 必要がない場合は図のようにします
 a) BAを延長した直線を引く
 b) a)の直線にに並行でA'を通る直線を引く
 c) b)の直線上の点E、a)の直線上の点Dを、∠EDA=∠B'A'Eと
  なるように取る
 d)∠ADEの二等分線(1)について対称移動
 e)A'Eの垂直二等分線(2)についての対称移動

以上より、
裏返しが必要な場合は1.とd)e)で3つ以内、
裏返しが必要ない場合はd)e)で2つ以内
の対称変換の合成になります。
「合同変換 3つの鏡映の合成で得られる…?」の回答画像1
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
理解することができました。

お礼日時:2013/10/09 14:15

抜けましたが、c)のところにはAD=DEという条件も必要です。

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この回答へのお礼

ご親切にありがとうございます。

お礼日時:2013/10/09 14:15

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Q合同変換について

ある本を読んでいて、以下のように解釈したのですが、これでいいでしょうか?
(⊃の記号は、ふさわしいものが思いつかないので、ここではこれを採用しました。)
アフィン変換⊃等長変換⊃合同変換

つまり、等長変換=合同変換としないほうがいいのでしょうか?
等長変換の中に合同変換があると思った方がいいのでしょうか?
その際、等長変換であって、合同変換でないものってありますか?

難しい内容なので、答えにくいかもしれませんが、お願いします。

Aベストアンサー

合同変換といったときは線形空間内での平行移動、回転、折り返しの
合成です。(もちろん、この線形空間では内積が定義され、計量化され
ている)

等長変換といったときは、2点間の距離を変えない変換で、線形空間
内で考えたときは、やはり平行移動、回転、折り返しの合成になると
思います。

線形空間内に限っていえば、合同変換も等長変換も同じな気がします。

合同変換というのは線形空間の用語で、等長変換というのは距離空間
の用語ということで、等長変換の方がより広い意味の用語と思います。
(一般の距離空間では合同という概念はない)

ちゃんと調べたわけではないので、御参考まで・・

Qメスのほうが派手な色彩や模様の動物を探しています。

動物のオスがメスに求愛するために、模様や柄が派手だったりします。鳥でもそうです。
では、メスのほうがオスより色彩や模様が派手だったり、奇抜なダンスを舞ったり、という例はありますか?

Aベストアンサー

オオハナインコ(Eclectus roratus)というオーストラリアにいるインコがメスの方が派手なようです。メスの方が派手としている理由についてはPDFをよんでいただいた方が早いかとおもいます。

出典(PDFです)
www.eurekalert.org/pub_releases/translations/scisummaries072205jp.pdf
参考までに写真
http://homepage3.nifty.com/loros/ohana.htm

あと、ミフウズラという鳥がメスの方が派手でディスプレイをするそうです。ちなみに、一妻多夫だそうです。
http://www.synapse.ne.jp/lidthi/AOC/archives/topics/topics98/topics9806-mihuuzura.htm
上記URLでオスの個体がわかりにくいのでもう1つ、オスっぽい写真を。
http://homepage3.nifty.com/jijibabakoubou/photo_gallrey/photolist/mifuuzura.htm

おそらく、探せば他にもあると思いますが。

オオハナインコ(Eclectus roratus)というオーストラリアにいるインコがメスの方が派手なようです。メスの方が派手としている理由についてはPDFをよんでいただいた方が早いかとおもいます。

出典(PDFです)
www.eurekalert.org/pub_releases/translations/scisummaries072205jp.pdf
参考までに写真
http://homepage3.nifty.com/loros/ohana.htm

あと、ミフウズラという鳥がメスの方が派手でディスプレイをするそうです。ちなみに、一妻多夫だそうです。
http://www.synapse.ne.jp/lidthi/AOC/archives...続きを読む

Qモースポテンシャルってどういうものですか?

モースポテンシャルは原子間に働く力のポテンシャルであるということは分かるのですが
具体的にどういう場合に適用されるのでしょうか?
σ結合、π結合、水素結合など様々な結合がありますが、
どの結合のときに適用されるということは決まっているのでしょうか?

Aベストアンサー

2つの原子の間の距離が
限りなく0に近づく時、ポテンシャルエネルギーは無限大に発散。
限りなく遠ざかる時に、ポテンシャルエネルギーはゼロ。
このような場合に適用されるはずです。
だから、2粒子系の場合はほとんどの場合モースで近似出来ます。
粒子数が増えると単純にモースで近似出来なくなる場合もあります。

Q部分群であることの証明

部分群であることの証明
Gを群、Hをその部分集合とし、a,b∈Gに対し、「a~b⇔ab^(-1)∈H」なる~ が同値関係であるとする。このとき、HはGの部分群であることを証明してほしいです。

部分群であることを証明するには、(1)結合法則が成り立つこと(2)単位元の存在(3)逆元の存在が言えればいいこと、
同値関係の定義については理解しています。

ですが証明文を書くことができず、困っています。


回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。

「結果的に同じことになった」と前にも書いたかな?

この問題では二つの同値 ~ と ⇔ がでてきているけれど、

両方とも、本来の意味として、結果的に同じになっているで、構いませんよ。

で、例に挙げた群だけど。。

実数全体(0を除く) (以下、R0 と書くことにしますね)と

演算子掛け算 × を持ってくると、群の定義は?

単位要素の存在、逆要素の存在、結合則の成立だよね。

R0の中から、好きな二つを取ってきます。

何でも構いません。掛け算した答えは、必ず実数になりますね。

 #無理数も実数だからね。虚数にならなければいい。

ここで二項代数として成立。

単位要素は、「1」ですね。 任意のR0∋c について、

c×1=c 動かないので単位要素だね。

逆要素は、c^(-1)だね。 c×(1/c)=1 単位要素に帰るわけだから。

 #0をどけたのは、これができないから。

例) c=√2 のとき c×c^(-1)=√2/√2 =1

無限に要素があるけど、これはすごく簡明な群なんだけどな・・・。

この場合は数値になるから、Hもとりやすいと思うけれども。

取ってみてくれるかな? そしたら少しつかめると思うけど。


そしてね、どっかでこれ見たことあるなぁ~と思ってました。

「群論への30講」 志賀浩二 著 朝倉出版

この、第八項に同じのがある。

出身が電気工学で、この本で独学したんだ(^^;)

本屋さん(大きな)に行く機会があったら、捜してみて?

もう結構古いから、絶版かもしれないけれど。


代数を専門とされてはいないのかな。ちょっと出てきたと言う感じかな?

群 って言うのをもう少し分かってからのほうがいいのかもしれない問題かもね?

かじるくらいにしては、少し難しいかもしれない。


でもね、例に挙げたのが群だと思って、そこから部分群になるようにHの要素を

持ってきてみて?

それができると、ある程度見晴らしがでてくると思う。

えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。

「結果的に同じことになった」と前にも書いたかな?

この問題では二つの同値 ~ と ⇔ がでてきているけれど、

両方とも、本来の意味として、結果的に同じになっているで、構いませんよ。

で、例に挙げた群だけど。。

実数全体(0を除く) (以下、R0 と書くことにしますね)と

演算子掛け算 × を持ってくると、群の定義は?

単位要素の存在、逆要素の存在、結合則の成立だよね。

R0の中から、好きな二つを取ってきます。

何でも構いません...続きを読む

Q名古屋大学理学部の学科振り分けについて

今志望校の一つに名大理学部があります。
といっても進みたいのは物理学科で他の学科(数学、化学、生物)には
まったく興味がありません。
(宇宙について勉強したいので)
調べてみると
理学部として受験生を募集しており、志望学科別に受験するのではないとわかりました。
1年終了時に、希望や成績などによって各学科への配属が決定されるそうです。
(東大だけかと思っていました。)
もし合格者の多数が一つの学部に志望が偏っていた場合
どんなに頑張っても、自分の進みたい学科にいけない可能性もあるのですよね。
100%いけるという可能性がないとわかり
ガックリした気分です。
物理学科以外なら行く意味がないです。

理学部で学科が決まる時、どのくらいの方が希望の学科にいけないのでしょうか?
こんな分け方、意味があるでしょうか?
行きたくない学科に決まったら
やる気、がた落ちです。

Aベストアンサー

であれば、東大東工大名大は外しましょう。
おそらく物理は人気学科でしょう。志願者殺到。
理学系統で何をしようかと思っているような受験生には意味があるでしょうね。
ただ、学力的にブッチギリの人なら関係ありません。
入って一生懸命勉強すれば良いという程度だろう、とも予想します。
東大なら競争相手は理学部の枠に限りませんから、相当厳しいんだろうなぁと想像しますが。

> 行きたくない学科に決まったらやる気、がた落ちです。

実際問題、そういう人が集まる寂れた不人気専攻は実在します。名大がどうかは知りませんけど。

Q幾何学の証明問題がわかりません

解けない問題があるの教えてください。

直交座標、点(x,y)に変換を行い、x軸に関する鏡映で(x,-y)、 直線x=yに関する鏡映で(y,x)、
原点を中心に90°の回転で(-y,x)、x軸に従う併進鏡映で(x+α,-y),拡大鏡映によって(bx,-by)に移ることを証明せよ。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

直交座標、点(x,y)に変換を行い、P(x,y),変換によって移る点をQ(p,q)とする。
原点をOとする。
>x軸に関する鏡映で(x,-y)、
xは変わらず、PとQの中点がx軸上にあればいいからそのy座標が0であれば良い。
(1/2)(y+q)=0より、y+q=0 よって、p=x,q=-y
>直線x=yに関する鏡映で(y,x)、
直線PQがy=xに直交するから、PQの傾き=(y-q)/(x-p)より、
{(y-q)/(x-p)}・1=-1より、x+y=p+q ……(1)
PとQの中点がy=x上にあればいいから、
(1/2)(y+q)=(1/2)(x+p)より、x-y=q-p ……(2)
(1)(2)の連立方程式を解くと、よって、p=y,q=x
>原点を中心に90°の回転で(-y,x)、
OPがx軸となす角をaとすると、
x=|OP|cos(a),y=|OP|sin(a)
p=|OP|cos(a+π/2)=-|OP|sin(a)=-y
q=|OP|sin(a+π/2)=|OP|cos(a)=x
>x軸に従う併進鏡映で(x+α,-y),
x軸による鏡映により、(x,-y)
x方向にαだけ平行移動するから、よって、p=x+α,q=-y
>拡大鏡映によって(bx,by)に移ることを証明せよ。
|OQ|=b|OP|より、|OQ|^2=b^2|OP|^2
左辺=|OQ|^2=p^2+q^2
右辺=b^2|OP|^2
=b^2(x^2+y^2)
=b^2x^2+b^2y^2
=(bx)^2+(by)^2
p^2+q^2=(bx)^2+(by)^2より、
よって、p=bx,q=by

のようにやってみましたが、どうでしょうか?

直交座標、点(x,y)に変換を行い、P(x,y),変換によって移る点をQ(p,q)とする。
原点をOとする。
>x軸に関する鏡映で(x,-y)、
xは変わらず、PとQの中点がx軸上にあればいいからそのy座標が0であれば良い。
(1/2)(y+q)=0より、y+q=0 よって、p=x,q=-y
>直線x=yに関する鏡映で(y,x)、
直線PQがy=xに直交するから、PQの傾き=(y-q)/(x-p)より、
{(y-q)/(x-p)}・1=-1より、x+y=p+q ……(1)
PとQの中点がy=x上にあれば...続きを読む

Q位数6の群を分類したいです。

Gを位数が6の群とする
G≅Z/6Z or S3 のどちらかに同型になることを示したいのですが、
シローの定理からP3:3-Sylow部分群 s3:P3の個数 P2:2-Sylow部分群 s2:P2の個数
とすると、シローの定理からs3=1、s2=1,3となり、
(1)s2=1の時は、G≅Z/2Z×Z/3Z≅Z/6Z
ということは分かったのですが、
(2)s2=3の時はG≅S3になると思うのですが、これをどう示したらよいかが分かりません。
教えていただけませんですか?

Aベストアンサー

シローの定理より
2シロー群{e,a}が存在
3シロー群{e,b,b^2}が存在.3シロー群はひとつしかない.

そこで ab の位数 o(ab) を考える

o(ab)=1,2,3,6である

o(ab)=1ならば ab=e,b=a^{-1}=aで不適

o(ab)=6ならば 位数6の群Gに位数6の要素があるので
Gは巡回群Z/6Z

o(ab)=2ならば abab=e つまり aba=b^{-1}
つまり Gはa^2=e, b^3=e aba=b^{-1}で生成される群でありこれは
三次二面体群D_3すなわち3次対称群S_3

o(ab)=3ならば
abが生成する巡回群<ab>は3シロー群
3シロー群はひとつしかないので
ab=e,b,b^2
ab=eは不適
ab=bも不適
ab=b^2も不適
よってo(ab)は3とはならない

以上より
位数6の有限群は
巡回群か3次の対称群

実際はもっと強いことがいえて
素数p,qに対して
位数pqの群が決定できます
シローの定理と自己同型の組合せ
♯ぐぐると力作のPDFがすぐ見つかります

Qp軌道の「+」「-」とは?

大学の有機化学の授業で電子の分子軌道について習ったんですが、その教科書にあるp軌道の図で「+」と「-」とかかれていたりします。
これは何を表しているのでしょうか??
教えて下さい。

Aベストアンサー

p軌道(の波動関数の図、電子雲の図)に示された「+」「-」は、波動関数の正負を示しているものです。
結合性軌道・反結合性軌道のお話と関連してはいますが、結合性軌道、反結合性軌道そのものを表す符号ではありませんからご注意ください。

量子力学では「波動関数」という概念が出てきます。これは古典力学には存在しない概念なのでとっつきにくいものではありますが、ψ(x,y,z)という波動関数があったなら絶対値の2乗、すなわち|ψ(x,y,z)|^2がその場所(x,y,z)での粒子の存在確率を示す、と解釈されています。|ψ(x,y,z)|^2は存在確率ですから負の値にはなりませんが、ψ(x,y,z)自体は負の値を取ることも許されます*1。
p軌道とはそのような波動関数のうち、原子の周辺に広がっているもの(の一つ)です。下の図はp軌道を模式的に書いたもので、中心の原子核から電子雲が上下に伸びています。電子雲が「濃い」場所は波動関数が大きな絶対値を持ち電子の存在確率が高い場所です。より詳細な図は教科書で見て下さい。
図には+や-の記号が入っていますが、上側に伸びている部分では波動関数は正の値を、下側の部分では負の値を取ることを表現しています。ただ正であっても負であっても、絶対値さえ大であれば|ψ(x,y,z)|^2が大きいことになりますから、その場所では電子雲は濃く電子の存在確率は高いということになります。

▽+
●原子核
▲-
p軌道の模式図

さて次に原子の結合を考えます。この部分をまた一から説明するとなるとここでは書き切れませんが、結論だけ書くと「プラスの部分同士、マイナスの部分同士が重なる時に結合する」ということになります。下の図をご覧下さい。
結合まで考えると波動関数の正負が重要になってくるわけです。

▽+ ▽+
●   ●
▲- ▲-
結合する(結合性軌道)

▽+ ▼-
●   ●
▲- △+
結合しない(反結合性軌道)

お答えになりましたでしょうか。

*1 Schroedinger方程式は線形方程式ですから、ψ(x,y,z)がその解であればCψ(x,y,z)もまた解となり得ます(Cは定数。負であってもよい)。ただし規格化の要請、すなわち|ψ(x,y,z)|^2を全空間にわたって積分した時に1になるように、との条件がありますからCの絶対値は1つに限られます。
ただ絶対値は決まったとしても、exp(iα)だけの不定性は残ります(iは虚数単位、αはある実数定数。ご存じかと思いますがexp(x)とはeのx乗のことです)。ψ(x,y,z)が(規格化までされた)解であるなら、exp(iα)×ψ(x,y,z)もまた規格化された解になる、ということです。exp(iπ)=-1、exp(0)=1ですから波動関数が正か負かというのは絶対的に定まっているものではなく、実は相対的なものです。(この話はちょっと難しいので無理に理解しなくても結構です)

p軌道(の波動関数の図、電子雲の図)に示された「+」「-」は、波動関数の正負を示しているものです。
結合性軌道・反結合性軌道のお話と関連してはいますが、結合性軌道、反結合性軌道そのものを表す符号ではありませんからご注意ください。

量子力学では「波動関数」という概念が出てきます。これは古典力学には存在しない概念なのでとっつきにくいものではありますが、ψ(x,y,z)という波動関数があったなら絶対値の2乗、すなわち|ψ(x,y,z)|^2がその場所(x,y,z)での粒子の存在確率を示す、と解釈されています。...続きを読む

Q原子価結合法と分子軌道法

原子価結合法と分子軌道法の違いが
いまいち分かりません。
数式ばかり並べられているのを見ても
どこがどう違うのかを言葉でうまく表現出来ません。
本なども読んでみたのですが、どれも難しすぎて、明確にどこがどう違うのかが分かりません。
どなたか分かりやすく、これらの違いを説明してくださいませんか?

Aベストアンサー

レスが付かないようなので、一言。
このサイトのココ↓
http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=561839
に大変詳しく、分かりやすい解説が載っていますよ。一度ご参照してみてください。

参考URL:http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=561839

Q金属、半導体の抵抗の温度変化について

金属は温度が高くなると抵抗が大きくなり、半導体は温度が高くなると抵抗が小さくなるということで、理論的にどうしてそうなるのでしょうか。
金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?
半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。
あと自分で調べていたところ「バンド理論」というのを目にしました。
関係があるようでしたらこれも教えて頂くとありがたいです。

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体の中において金属の自由電子に相当するものは、電子とホールです。この2つは電流を担う粒子ですので、「キャリア」(運ぶ人)と言います。
ホールは、半導体物理学においてプラスの電子のように扱われますが、その実体は、電子が欠けた場所のことを表す「穴」のことであって、おとぎ話の登場人物です。
電子の濃度とホールの濃度に違いがあったとしても、一定の温度においては、両者の濃度の積は一定です。
これは、水溶液において、H+ と OH- の濃度の積が一定(10^(-14)mol^2/L^2)であるのと実は同じことなのです。

中性の水溶液の温度が高くなると、H2O が H+ と OH- とに解離しやすくなり、H2O に戻る反応が劣勢になります。
それと同様に、真性半導体においても、温度が上がると電子とホールが発生しやすくなるのに比べて、両者が出合って対消滅する反応が劣勢になるため、両者の濃度の積は増えます。
キャリアが増えるので、電流は流れやすくなります。

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体...続きを読む


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