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写真の問題の赤線部についてですが、なぜ等号を外すことができるのでしょうか?
確かに等号が成り立つのはx=0のときだけですが、赤線部の積分範囲に0が含まれていることから、等号が外せることに違和感があります。解説おねがいします。

写真:https://d.kuku.lu/j565nfatj

A 回答 (4件)

積分範囲に0が含まれていようが


積分区間は[0,1]です。
3つの関数値がx=0で等しくなっても
0から1の区間で作る図形は
大きさが明らかに違うはずです。
だから等号が成り立つことはありません。
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図の通り

「写真の問題の赤線部についてですが、なぜ等」の回答画像4
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移項して


1/(x+1)^2 - 1/(x^2+x+1) ≦ 0 ≦ 1/(x+1) - 1/(x^2+x+1), 0 ≦ x ≦ 1
としたほうが見やすいかな?

不等式の左半分について:
a ≦ x ≦ b の範囲で f(x) ≦ 0 が成り立つとき
∫[a,b]f(x)dx ≦ 0 が成り立ちますが、
∫[a,b]f(x)dx = 0 となるのは、a ≦ x ≦ b の範囲でずっと f(x) = 0 の場合だけです。
積分区間を分割して ∫f(x)dx > 0 となる小区間が無いので、
∫f(x)dx < 0 となる小区間が少しでもあれば ∫[a,b]f(x)dx < 0 となるからです。

1/(x+1)^2 - 1/(x^2+x+1) は、0 ≦ x ≦ 1 の範囲でずっと = 0 ではないので、
∫[0,1]{ 1/(x+1)^2 - 1/(x^2+x+1) }dx < 0.
よって ∫[0,1]{ 1/(x+1)^2 }dx < ∫[0,1]{ 1/(x^2+x+1) }dx です。

不等式の右半分についても、ほぼ同様。
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f(x),g(x)が区間[a,b]で連続かつ


 f(x)≦g(x) かつ ∃c∈[a,b], f(c)<g(c)
ならば
 ∫[a,b]f(x)dx<∫[a,b]g(x)dx
となる。

しかし、証明は面倒なので、今回は
 ∫[0,1] {1/(x²+x+1)-1/(x+1)²}dx
 =∫[0,1] x/{(x²+x+1)(x+1)²} dx
 ≧∫[0,1] x/(3・2²)dx=1/(2・3・2²)>0
→ ∫[0,1] 1/(x²+x+1) dx > ∫[0,1] 1/(x+1)² dx
を得る。

ここで、0≦x≦1 のとき
 x/{(x²+x+1)(x+1)²} ≧ x/{(1+1+1)(1+1)²}=x/(3・2²)
を使った。

もう一方の不等式も同様。
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