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階差数列の問題で、n=1にときに成り立たない問題を見たことありますか?
階差数列はnが2以上の時の式を導き、n=1の時も確認しますが、ここでn=1の時にはnが2以上の時の式で説明できないような問題は存在しますか?

A 回答 (4件)

判定法:


階差数列を和分して得られた n ≧ 2 での一般項の式 S(n) が
n = 0 を代入して S(0) = 0 なら、 S(1) は n ≧ 2 の S(n) と同じ式で表せる。
S(0) ≠ 0 であれば同じ式では表せず、n = 1 を場合分けする必要がある。

S(1) = a(1) が成り立っているかを確かめる手間と同じだから、意味無いか...
テストとかでちょっと便利なんだけど。
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どんなデタラメな超適当な数列でも、隣同士を引き算して出来た数列を階差数列という。



階差数列と言う言葉には、等差とか等比の意味は含んでないよ。
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数列


{a(n)}
の階差数列を
{b(n)}
とすると

b(n)=a(n+1)-a(n)

Σ_{k=1~n}b(k)=Σ_{k=1~n}{a(k+1)-a(k)}=a(n+1)-a(1)

n≧1のとき
a(n+1)=a(1)+Σ_{k=1~n}b(k)
だから
n≧2のとき
a(n)=a(1)+Σ_{k=1~n-1}b(k)

n=1のとき
a(n)=a(1)=a(1)+Σ_{k=1~0}b(k)
だから

n≧1のとき
a(n)=a(1)+Σ_{k=1~n-1}b(k)
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階差数列の一般項がk=1(元の数列で言えばn=2)でも


きちんと成り立つならn=1のときにも当てはまるはずですね。
だからないと言えると思います。
(ただし、階差数列でなければn=1だけ違う場合はあります)

だからといって階差数列を利用して元の数列の一般項を
求めるときにn≧2としなかったりn=1での確認を
しないのは誤りです。
階差数列を用いて元の数列を求めるあの式はn=1では
意味をなさないからです。
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