写真は、楕円の方程式の導出が書かれたものですが、 赤線部で、「b>0とすると」と書かれていて黄線部に

写真は、楕円の方程式の導出が書かれたものですが、
赤線部で、「b>0とすると」と書かれていて黄線部には「a>b>0」と書かれています。このことについて質問なのですが、なぜ、赤線部で仮定したb>0という式がそのまま楕円の公式(黄線部)に反映されるのですか？この「a>b>0」というのは導出のときに「b>0」と仮定したものをa,bをまとめて表していると思いますが、仮にb<0としても写真と同様に式を導くことができると思います。しかしそのときは「a<b<0」という条件は成り立たないですよね？(b<0とおいたため)
つまり「a>b>0」のb>0という条件は最初にb>0とおいて示したときのものだから一概にb>0というように言えないのでは？ということです。a>0というのはaは距離、すなわち絶対値だからa>0になるのだろうということはわかります。

写真のURLです。
https://dotup.org/uploda/dotup.org3025899.jpg_fZ …

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。
  bは距離であるからb>0ということですね
  理解できました

    補足日時：2023/08/10 13:29

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2023/08/07 16:12

一番下の断片において：

右のグラフを
　　x軸上の目盛 a, -a　>>>　|a|, -|a|
　　y軸上の目盛 b, -b　>>>　|b|, -|b|
そして文中では
　　a>b>0のとき　>>>　|a|>|b|>0のとき
　　長軸の長さは2a　>>>　長軸の長さは2|a|
　　短軸の長さは2b　>>>　短軸の長さは2|b|
　　距離の和は2a　>>>　距離の和は2|a|
と手直しして読めばとりあえずOK。あるいは
　　a>b>0のとき　>>>　|a|>0かつ|b|>0のとき
　　長軸の長さは2a　>>>　長軸の長さは2|a|と2|b|の大きい方
　　短軸の長さは2b　>>>　短軸の長さは2|a|と2|b|の小さい方
　　距離の和は2a　>>>　距離の和は長軸の長さ
と直すと余計な条件が削れる。

で、真ん中の断片において：
　　このときのPのy座標をb(b>0)　>>>　このときのPのy座標をb(b≠0)
となっていれば辻褄が合うわけですが、そのためには②式を導く直前に「|a| ≠ |c| のとき」という条件が必要になる。すなわち、場合分けして
　　|a| = |c|のとき : y = 0 (すなわちx軸全体）
という解も出して、これはこれで評価しておかなくちゃいけない。その評価がどうなるかは、問題文が書いてないからわからんですが。（案外、問題文から明らかにb>0, |a| ≠ |c|でなくちゃならん、ということなのかも知れんし。）

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/08/07 08:54

aとbは楕円の形を表すパラメータで

長半径、短半径
と呼ばれるものです。
これはその名の通り中心からの「距離」なので　a>0, b>0
とします。
説明のP点がx軸の下側なら -b を使うだけです。
b < 0 として話を始めることも可能ですが
めんどくさくなるだけなのでそんなことはしません。

因みに a>b でないと、焦点A,Bはx軸上に現れません。
つまり、焦点が x軸上に2個あるなら a > b になります。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/06 15:42

短軸の長さは

2b
だから
長さは
b>0
でなければならないから

楕円
x^2/a^2+y^2/(a^2-c^2)=1
と
y軸(x=0)の交点を(0,y)とすると

y^2/(a^2-c^2)=1

y^2=(a^2-c^2)

y=±√(a^2-c^2)

だから

b=√(a^2-c^2)

と定めるのです

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2023/08/06 00:13

解説をみると第1,2象限の場合の説明として「a>b>0」とおいているように

思います。
第３,４象限の場合は「a<b<0」になりますが　式②が全て2乗なので
この場合は考える必要もなく「a>b>0」の場合かんがえればいいからと思います。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/08/05 22:43

b<0 と「しなければならない」理由ってなに?

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2023/08/05 21:15

座標上の距離として考えているのでは。

b<0 でも b²>0 ですから、同じことですよね。
座標ならば a<b<0 と 0<b<a は 同じことでしょ。