2次関数の重心の検算方法

以前、2次関数の重心の求め方をお聞きして理解することができました。
今、求めた重心を検算できないかといろいろと考えています。
式はy = -x(x-2)で重心の座標は(1，2/5)となっています。
アドバイスよろしくお願いします。

No.4 回答者： info22 回答日時： 2007/11/19 20:55

#1です。

重心の座標Gは(1,2/5)が正しいようです。
訂正します。

放物線の対称性からGのx座標は対称軸上にありますからx=1ですね。
図形を直線で2分割した時の2分割図形のそれぞれの重心に対するモーメントが釣り合うように直線L：y=mxを決めれば、その直線上にGがあります。Lとx=1の交点が重心Gになるということです。

#計算して見ますのでしばらくお待ち下さい。
締め切られたら回答できませんが(^^)!

No.3 回答者： tecchan22 回答日時： 2007/11/19 14:59

＞＃２

訂正と補足

●訂正
＞原点を基準として
ｘ軸を基準として

●補足
当然ですが、普通の重心を求めているので、密度（関数）は、単位面積あたり１の一様密度としているわけです。
だから全体の重さは、面積と等しくなります。

No.2 回答者： tecchan22 回答日時： 2007/11/19 14:35

公式をつくってしまえばいいんじゃないですか？

二次関数のグラフと、ｘ軸に平行な直線とで囲まれた図形に限るのならば、
一般的に、たとえばｙ＝ａｘ＾２と、ｙ＝ｃ　（ａ，ｃは正）として。

この場合重心のｘ座標は０だから、ｙ座標がどうなるかですが、
モーメントを使うんですよね。

原点を基準として、ｙ軸方向のモーメントは、
∫[｛２√（ｙ／ａ）｝ｙ]ｄｙ（積分区間は０からｃ）
＝（２／√ａ）∫ｙ＾（３／２）ｄｙ
＝（４／５√ａ）ｃ＾（５／２）
＝｛４（ｃ＾２）√ｃ｝／５√ａ・・・(1)

これが、面積×（重心のｙ座標）となるから、
面積＝（ａ／６）×｛２√（ｃ／ａ）｝＾３
＝（４ｃ√ｃ）／３√ａ・・・(2)
より、
(1)を(2)で割って、ｙ座標は、（３／５）ｃ

頂点から、３／５の高さのところになるんですね！（ａの値に関わらず）

今の問題の場合、頂点からｘ軸までの距離は１。
よって、頂点から１×（３／５）＝３／５のところに重心がある。
よって重心のｙ座標は、１－３／５＝２／５
ですね。確かに。

「頂点から、３：２のところ」、と覚えてもいいですね。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2007/11/19 14:26

以前の質問があるならそのURLをここに書いて下さい。

そうでないと
＞式はy = -x(x-2)で重心の座標は(1，2/5)となっています。
の重心がどこの部分（図形）の重心か分かりません。

もし、y = -x(x-2)とx軸とで囲まれた図形の重心なら(1,2/5)とはなりません。この場合の重心は( 1, 2 - 4^(1/3) )です。

なお、正しい重心のy座標は
2 - 4^(1/3)≒0.412598948
ですが、2/5=0.4ですから(1,2/5)は重心に近い点ではあります。

この回答への補足

y = -x(x-2)とx軸とで囲まれた図形の重心です。
重心の座標は(1,2/5)で間違いありません。

補足日時：2007/11/19 17:04