物理 長さがL=4.0mのはしごが壁に立てかけてある。はしごと床の角度は60°である。壁とはしごの上

物理
長さがL=4.0mのはしごが壁に立てかけてある。はしごと床の角度は60°である。壁とはしごの上端の摩擦は無視でき、床とはしごの下端の静止摩擦係数をμ=0.54とする。
はしごの質量は10kgで、はしごの重心Gははしごの中央にある。
このはしごを体重60kgの人がのぼったところ、はしごは倒れることなく人は上端まで到達することができた。

(1)体重60kgの人がはしごを登って図のx=3.0mまで到達したときの人とはしごの合計の重心をG'とする。重心G'の床面からの高さhを求めよ。

(2)このはしごが倒れることなく人が上端まで到達するためには、体重は何kg以下でなければならないか。

この2つの問題の解き方を教えて欲しいです。

(1)は重心の公式使って、(60×3+10×2)/(10+60)で棒の下端からのG'までの距離だしてsin使ってだしたところ、2.46mとなったのですが、違うようです、

(2)はモーメントのつりあいの式はだせたんですけど、そこからどうするか分かりません。
〈自分が出したモーメントの式〉
N1Lcos60°+(1/2)cosW1=N1Lcos60°μ

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/08/04 00:29

(1) 長さ 4 m のはしごの重心はその中央の「床の端から 2 m」の位置です。

　人が乗っているのは、「床の端から 3 m」の位置です。
　つまり、はしごと人の合計の重心は、「床の端から 2 m と 3 m の間」（その間隔は 1 m）です。
　従って、合計の重心位置からはしごの中心までの距離を y [m] とすると、合計の重心位置から人までの距離は (1 - y) [m] になります。
　「合計の重心」周りでは、力のモーメントがつり合うので（それが「重心」の定義）
　　はしごの重力のモーメント：時計回りに mg × y
　　人の重力のモーメント：半時計回りに Ｍg × (1 - y)
これがつり合うので
　　mgy = Mg(1 - y)
→　my = M(1 - y)

ここで
　m = 10 [kg], M = 60 [kg]
なので
　10y = 60(1 - y)
→　70y = 60
→　y = 6/7 [m]

よって、合計の重心の位置は、はしごの床端から
　2 + 6/7 = 20/7 [m]
ということになります。

ここまでは、質問者さんもちゃんとできているようですね。

その床からの高さは
　h = (20/7)sin(60°) = (10√3)/7 = 2.47435･･･
　　≒ 2.5 [m]

＞2.46mとなったのですが、違うようです

どう違うのでしょうか？
単なる計算違いか、概算や四捨五入の違いか？


(2) はしごが倒れる、というより「滑り落ちる」ことがないようにするには、壁には摩擦がないので、床の摩擦が決め手になります。

「滑り落ちない」ためには、F1 の大きさが「最大静止摩擦力」より小さいことが必要です。
最大静止摩擦力は、
　N1 = mg + Mg
に対して
　f = μN1 = μ(m + M)g
です。

人がはしごの最高点まで登ったとき、はしごと壁の交点周りの力のモーメントのつり合いは
・時計回り：mg(L/2)cos(60°) + F1･Lsin(60°) = mgL/4 + [(√3)/2]L･F1
・反時計回り：N1･Lcos(60°) = (mg + Mg)L/2

これらがつり合うので
　mgL/4 + [(√3)/2]L･F1 = (mg + Mg)L/2
→　[(√3)/2]F1 = mg/4 + Mg/2
→　F1 = mg/2√3 + Mg/√3

従って、はしごが滑り落ちないためには
　F1 = mg/2√3 + Mg/√3 < f = μ(m + M)g
→　m/2√3 + M/√3 < f = μ(m + M)
→　(1/√3 - μ)M < (μ - 1/2√3)m

ここに m = 10 [kg], μ = 0.54 をあてはめると
　(0.57735 - 0.54)M < (0.54 - 0.288675) × 10
→　M < 67.289
→　M < 67 [kg]

質問者さんのやり方では

＞〈自分が出したモーメントの式〉
＞N1Lcos60°+(1/2)cosW1=N1Lcos60°μ

「N1Lcos60°」は「垂直抗力」による反時計回り、「(1/2)cosW1」ははしごの重力のよる時計回り、「N1Lcos60°μ」は「摩擦力」による「時計回り」なので、つり合いの式は
　N1Lcos60° = N1Lcos60°μ + (1/2)cosW1
または
　N1Lcos60° - (1/2)cosW1 = N1Lcos60°μ
ですね。

そこに、「水平、鉛直方向の力のつり合い」から
　N1 = mg + Mg
　W1 = mg
として M (>60 [kg]) と m (=10 [kg]) の関係を求めればよいです。
この立式での N1 は、はしごがすべり始めるときの値ということになります。