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大学の問題です。

f(x)=sin1/x(x≠0)
f(x)=0(x=0)

fはx=0で不連続であることを証明せよ。




簡単な問題とは思いますが、全然出来ないので困ってます…よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

よく目にする問題ですね。



一般に lim[x→a] f(x) が極限 α に収束するとき、
a に収束する任意の数列 x_n (lim[n→∞] x_n = a) について、
lim[n→∞] f(x_n) = α が成立します。

ここでは、f(x) = sin(1/x), a = 0 とすれば、
lim[x→0] sin(1/x) が収束するためには、
0 に収束する任意の数列 x_n について、
lim[n→∞] sin(1/x_n) が共通の値を
とらねばならないことになります。

で、数列 x_n = 1/(2nπ + π/2) と x_n = 1/(2nπ - π/2)
を比べてみれば、そうはなっていないことが判ります。

よって、不連続です。
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まず、問題を間違っていませんか?


f(x)=sin1/x(x≠0)
じゃなくて、
f(x)=sinx/x(x≠0)
なんじゃないですか?

もし、
f(x)=sin1/x(x≠0)
だとすれば、sin1は定数なので、sin1/xは、xが正のときは、xが0に限りなく近いところではf(x)は∞になり、xが負のときは、xが0に限りなく近いところではf(x)は-∞になります。
そして、x=0のときにf(x)=0なので、f(x)はx=0で当然不連続です。

もし、
f(x)=sinx/x(x≠0)
だとすれば、sinxは、xが0に近づくほど、sinxはxに近づきます。
あとは解りますよね?

この回答への補足

すみません…
sin(1/x)です。

補足日時:2010/08/04 11:51
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