f(x)=xsin1/xが(0.1]で一様連続かどうかの証明なのですが、以下のものであっているのかわかりません。
任意にε>0をとる。δ=ε/2となるδ>0をとると、|a-b|<δのとき
|f(a)-f(b)|=|(asin1/a)-(bsin1/b)|となり、ここで、0<|asin1/a|<1であるので、<|2a-2b|
<2|a-b|<2δ=ε (終了)
これでよいのでしょうか。
足りない部分があるような気もするのですが、わかりません。
わかる方いらっしゃいましたら、ご教授よろしくお願いいたします。
尚、先生に聞いたほうがよいなどというような回答は、申し訳ありませんがお控えください。
よろしくお願いいたします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
まあ、「ε-δ 論法を使え」という指示が特に無いのであれば、f(0)の値を適切な値に定義すれば、fが[0,1] (これはcompact)上で連続になるからそれで終わりですけどね..
「ε-δ 論法で証明せよ」というのなら、sin(1/x)がx=0の近傍で激しく動くのが問題となるので、
場合分けをしないといけない。
任意の正数εをとったとき、0 < x ≦1, 0 < y ≦ 1に対し、
|x*sin(1/x) - y * sin(1/y)|
= | { x*sin(1/x) - x*sin(1/y) } + {x*sin(1/y) - y * sin(1/y)} | (A)
≦ |x| |sin(1/x) - sin(1/y)| + |x-y| |sin(1/y)|
≦ |x| |sin(1/x) - sin(1/y)| + |x-y|
≦|x| * min {2, |1/x - 1/y|} + |x-y| (平均値の定理はつかっていいのかなあ?)
= min{2|x|, (|x-y| / |y|)} + |x-y|
あとは、xが0に近いときと、遠い時とで分けて考えてください。
因みに、
> 2に関しては、|sin1/a|と|sin1/b|はそれぞれ1以下になると
> 思ったので、
それなら、|(a*sin(1/a))-(b* sin(1/b))|<|a| + |b|までしか言えません。
No.1
- 回答日時:
全然証明になってませんね。
疑問点1: 0<|asin1/a|<1であるので、
0<|sin1/a|<1 の誤記?
=が付かないのはなぜ?
疑問点2: |(asin1/a)-(bsin1/b)|<|2a-2b|
例えば、sin1/a=1、sin1/b=0 なら、
|(asin1/a)-(bsin1/b)|=|a|
sin1/a=1、sin1/b=-1 なら、
|(asin1/a)-(bsin1/b)|=|a+b|
となるが、
|a|<|2a-2b| 、 |a+b|<|2a-2b| と言えるのか?
そもそも、どこから2a,2bが出てきたのか?
この回答への補足
すみません。
1に関しては、おっしゃる通りの誤記です。
≦である間違いも、その通りです。
2に関しては、|sin1/a|と|sin1/b|はそれぞれ1以下になると思ったので、2であれば抑えられると思ったからです。
それではどのような解答をすればよいのでしょうか。
本当に申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。
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