複素関数論の鏡像の定理がよくわからないのですが、わかりやすく簡潔に説明するとどんな感じですか？ w=

複素関数論の鏡像の定理がよくわからないのですが、わかりやすく簡潔に説明するとどんな感じですか？
w=f(z)とする。
z平面上に実軸(虚軸)に関して対称な円C_1,C_2を考えたとき、それをfでうつすと、w平面上でも円C_1′,C_2′の対称性が維持される。
ただし、その円の中心が必ずしも元の円の中心と一致するとは限らない。

こういうイメージかなと思ったのですが、もし違う場合は教えてください。お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： I_am_a_average_man 回答日時： 2020/05/23 18:09

少し見にくいので画像を変えました。

図の黒線は実軸です。
左図の赤線は円C_1：z1=(2+cosθ)+(2+sinθ)i、青線は円C_2：z2=(2+cosθ)+(-2-sinθ)iです。

これをw=f(z)=z^2でw平面に映してあげると、円C_1は右図にある赤線の円C_1′に、円C_2は右図にある青線の円C_2′となります。
円C_1′と円C_2′を比較すると、それぞれの円の中心は虚軸上に移動しているので、移した後の円の中心は確実に元の円の中心とは違う位置にあります。
また、円C_1′とC_2′は実軸に対して対称です。

この回答へのお礼

とっても分かりやすいです！！！ありがとうございました！！

お礼日時：2020/05/25 22:23

No.1 回答者： I_am_a_average_man 回答日時： 2020/05/23 11:07

θを0から2πまで動く変数とします。

そしてz平面上に実軸に関して対称な円C_1，C_2を設定します。今回は

C_1：z1=(2+cosθ)+(2+sinθ)i
C_2：z2=(2+cosθ)+(-2-sinθ)i

C_1の中心は2+2i，C_2の中心は2-2iになることは大丈夫かと思われます。

そしてさらにw=f(z)に関してはf(z)=z^2と設定します。C_1とC_2がz平面上での実軸に関して対称な円であることの説明は割愛します。

さてここでw平面上の円である、C_1′：w1=f(z1)，C_2′：w2=f(z2)を計算してグラフを書くと以下の図になります。上の円がC_1′，下の円はC_2′ですね。

円の中心は軸を見てもらえれば分かりますが、元の円とは一致しません。なので一致するとは限らないというのはこれで分かりますね。
そしてC_1′とC_2′ですが、実軸は書いてはいませんが、虚軸の目盛りが０のところに注目すると対称であることが分かりますね。

鏡像の定理はこんな感じだと思います。