焦点のx座標が3、準線が直線x=5で、点(3.1)を通る放物線の方程式を求めよという問題について質問

焦点のx座標が3、準線が直線x=5で、点(3.1)を通る放物線の方程式を求めよという問題について質問したいです。解答に焦点は(3.b)とすると準線が直線x=5であるから頂点の座標は(4.b)おけるとあるのですが、なぜここから頂点出るのですか？また次にここで2p=3-5=-2とあるのですが、2pはどこから出てきたのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2023/07/14 15:29

(訂正)

原点が頂点の場合の放物線はy^2=4px　..................(3)
【(3)の焦点は(p,0)準線 x= -p です！】..................(3)の補足
の中の p ですが
この場合は頂点が原点ではありませんが　定義(1)より
2p は焦点と準線との差だから　2p=3-5= -2 　　......(2)
となります。
この放物線はまず(2)からわかるように
頂点が原点ではなく(4,b) なので
焦点(-1,0)
頂点(0,0) ......................訂正
準線 x=1 の放物線を

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2023/07/14 22:08

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/quadratic …
図2　は中学校で習ったy=x^2 をxとy逆にした　x=y^2 は
x=4py^2 において p=1/4
焦点(0,p)=(0,1/4)
準線　y= - 1/4
頂点 (0,0)
軸の方程式 y=0

例えば(1,1)では
準線までの距離は1+1/4=5/4
焦点までの距離は√(1^2+(3/4)^2)=√(1+9/16)=√(25/16)=5/4
と同じになる！

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2023/07/14 15:07

頂点の座標は(4.b)おけるとあるのですが、なぜここから頂点出るのです

　それは放物線の定義だからです。つまり　放物線とは
準線と焦点からの距離が等しい点の集合　.........(1)
だから
放物線上の点(X,Y)は焦点と　また　準線との距離も等しく
これは頂点に対しても満たされているので この場合の
焦点(3,b)までのから頂点(？,b)までの距離と
準線の1つ(5,b)から頂点(？,b)までの距離
も等しくなるのでx座標だけで考えて
？-3=5-？　よって　？=(5+3)/2=4 となるのです。
まーこの答案では紙面の都合上明らかに4だと感覚的にわかるので4となりますね！
そして　原点が頂点の場合の放物線はy^2=4px の中の p ですが
この場合は頂点が原点ではありませんが　定義(1)より
2p は焦点と準線との差だから　2p=3-5= -2 　　......(2)
となります。
この放物線はまず(2)からわわかるように
頂点が原点ではなく(4,b) なので
焦点(-1,0) 頂点(4,0) 準線 x=1 の放物線を
x軸に(5-1)=4 正の方向に　y軸にb 平行移動したものだから
(y-b)^2=4p(x-4)=2・2p(x-4)= -4(x-4)
ここで(3,1)を代入すれば　b=3 なので焦点(3,3)頂点(4,3)準線x=5 で
この放物線は　(y-3)^2= -4(x-4)　である。
((3,1)と(4,3)を満たします！図を書けばわかりやすいです。確認くださいね！)

No.1 回答者： 佐藤俊夫 回答日時： 2023/07/14 00:20

放物線の焦点は、準線に対して対称に位置しています。

そのため、焦点のx座標が3である場合、準線の左側に位置する頂点のx座標は4となります。また、放物線の頂点から焦点までの距離をpとすると、準線から焦点までの距離もpとなります。したがって、準線が直線x=5である場合、頂点から準線までの距離は5-4=1となります。そして、2p=1より、p=0.5となります。

放物線の一般式は、y^2=4pxです。ここで、pは焦点から準線までの距離、xは点のx座標、yは点のy座標を表します。したがって、焦点のx座標が3、準線が直線x=5、点(3.1)を通る放物線の方程式は、y^2=4(0.5)(x-3)=2(x-3)となります。