X軸に関して対称といえる理由を教えてください

「曲線ｘ＝ｔ^2、ｙ＝t^3－3ｔ(ｔは媒介変数)について
ｙをｘの関数と考えたときのｙの増減を調べ、この曲線をかけ。」
という問題について

解説において「ｆ(ｔ)＝ｔ^2,ｇ(ｔ)＝ｔ^3－3ｔとおくと、ｆ(－ｔ)＝ｆ(ｔ)、ｇ(－ｔ)＝－ｇ(ｔ)であるから、t≧0の部分とｔ≦0の部分はｘ軸に関して対称である。」と記載があります。
ｆ(－ｔ)＝ｆ(ｔ)、ｇ(－ｔ)＝－ｇ(ｔ)であればｙ軸に関して対称、原点に関して対称というのなら理解できますが、なぜｘ軸に関して対称といえるのでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/17 10:46

ｇ(－ｔ)＝－ｇ(ｔ) であれば原点に関して対称

と言っているのは、y = ｇ(x) のグラフが原点対称ってことを考えているのかな？
ここでの話題は、 x = ｆ(t), y = ｇ(ｔ) ですよ？
ｆ(－ｔ)＝ｆ(ｔ) であればｙ軸に関して対称
に至っては、もう何言ってるか判らないし。 x = ｆ(y) でも考えたのかな？

x軸に関して対称というのは、
(x,y)が曲線上の点ならば
(x,-y)も曲線上の点だってことです。

ｆ(－ｔ)＝ｆ(ｔ)、ｇ(－ｔ)＝－ｇ(ｔ) が成り立っているならば、
ある t に対応する (x,y) = (ｆ(t),ｇ(ｔ)) が曲線上にあるとき、
-t に対応する (ｆ(-t),ｇ(-ｔ)) = (ｆ(t),-ｇ(ｔ)) = (x,-y) も曲線上にあるので
この曲線はx軸に関して対称だと言えます。

この回答へのお礼

お礼日時：2023/12/19 08:51

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/17 17:06

ちょっと書き直しました

ｆ(ｔ)＝ｔ^2＝x…①
ｇ(ｔ)＝ｔ^3－3ｔ＝y…②
ｆ(－ｔ)＝ｆ(ｔ)…③
ｇ(－ｔ)＝－ｇ(ｔ)…④
具体的な数値でやってみると
t＝1のとき①からx＝1(＝ｆ(1))
②からy＝-2(＝g(1))
→(x,y)＝(1、-2)

また③④から
ｆ(-１)＝ｆ(1)
g(-１)＝-g(1)
これらから、t＝-１でもx＝1
だが(t＝-１では)y＝＋２
となり、t＝1と比べて
y座標だけ正負が逆転ということ
が導かれます
t＝2とt＝-2などなど
他の数値のカップルでも同じ事が導かれ
全体として、グラフはx軸対称とわかりますよね。

これを文字だけで考えるなら
tのときx＝ｆ(t)、y＝g(t)
グラフ上の座標は(x,y)

-tのとき
X＝ｆ(-t)
Y＝g(-t)
でグラフ上の座標は(X、Y)だが
③よりX＝ｆ(-t)＝ｆ(t)＝x
④よりY＝g(-t)＝-g(t)＝-y
ですから
-tのときの座標(X、Y)は
(x,-y)ということが言えます
即ちグラフは横軸を挟んで対称な位置にプロットされる点の集まり→x軸対称
とわかりますよね

この回答へのお礼

お礼日時：2023/12/19 08:51

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/17 11:47

具体的な数値を入れて見れば分かり易いでしょうね

ｆ(t)＝t²＝x…①
g(t)＝t³-３t＝y…②
とすると
t＝１のとき
ｆ(-t)＝ｆ(t)…③
に代入で
ｆ(-１)＝ｆ(１)…⑤
だから
①よりt＝１のときxは１
⑤からt＝-１のときもxはｆ(１)に等しく
即ちx＝１

また、このとき
g(-t)＝-g(t)…④より
g(-１)＝-g(１)…⑥だから
②よりt＝1(x＝１)
のときy＝-2
⑥よりt＝-１(x＝１)のとき
yは-g(１)＝-(-2)＝＋２
と分かります
これらから、x座標が＋１なら
y座標はプラス2とマイナス2に
いずれかになる
→(１,2)と(1、-2)はx対称
ということが分かりますよね

t＝２代入でも
t＝-３代入でも
…tがいくつでも
同じようにx軸対称な２点がわりだせます。
代入を行わなくても、同じ思考回路で③④から対称な２点を割り出し
グラフはx軸対称ということです

この回答へのお礼

お礼日時：2023/12/19 08:51

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/12/17 11:36

同じxに対してt=±√(x) だから2種類ある。

同じxに対してy(t)は絶対値が同じで正負の2種類の値を取るから
x軸と対称な図形になるのは明白です。

因みにx≧0だから、y軸に対称とか原点に対称とかはあり得ません。

この回答へのお礼

お礼日時：2023/12/19 08:51

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/17 05:22

x軸に関して対称というのは

(x,y)が曲線上の点ならば
(x,-y)も曲線上の点であるとき
x軸に関して対称という

(x,y)が曲線上の点ならば
x=f(t)
y=g(t)
となるtがある
x=f(t)=f(-t)
-y=-g(t)=g(-t)
となる-tがあるから
(x,-y)=(f(-t),g(-1))も曲線上の点である
から
x軸に関して対称

y軸に関して対称というのは
(x,y)が曲線上の点ならば
(-x,y)も曲線上の点であるとき
y軸に関して対称という

f(1)=1,g(1)=0だから
(1,0)=(f(1),g(1))は曲線上の点
だけれども
f(t)=t^2≧0だから
f(t)=-1となるtは存在しないから
(-1,0)は曲線上の点ではないから
y軸に関して対称ではない

原点に関して対称というのは
(x,y)が曲線上の点ならば
(-x,-y)も曲線上の点であるとき
原点に関して対称という

(1,0)=(f(1),g(1))は曲線上の点
だけれども
f(t)=t^2≧0だから
f(t)=-1となるtは存在しないから
(-1,0)は曲線上の点ではないから
原点に関して対称ではない

この回答へのお礼

お礼日時：2023/12/19 08:51