楕円の計算

Question

楕円の計算で教えて下さい。

長径から、角度θの位置での動径（半径）Ｒを求めたいのですが
教えて下さい。

kumipapa · Accepted Answer

＞　R = a ( 1 - e cosθ)　は、楕円の焦点からの半径でしょうか？
その通りです。例えば、衛星が楕円軌道で地球の周りを回っているとき、地球は楕円の焦点の位置にあります。で、一般的に動径というと、地球（楕円の焦点）から衛星（楕円上の１点）までの距離を言うのだと思います。

＞　角度をθでの楕円の中心からの半径を知りたいのですが困ってます。
前の回答の繰り返しになりますが、楕円の長軸と短軸の交点を座標原点 O、長軸を x 軸、短軸を y 軸にとります。
長径を 2a、短径を 2b とすると ( 2a ＞ 2b ＞ 0 ) 、楕円上の点P (x, y) は、OPとx軸のなす角度をθとして（即ち長径からの角度をθとして）、
x = a cosθ
y = b sinθ
と媒介変数表示されます。ちなみに簡単に確認すると、θ = 0 の点は (a , 0)、θ = π/2 (90度) の点は、(0, b) になりますね。θ = π/4 (45度) のときは、(a/√2 , b/√2) になるんですね。

このとき、中心Ｏからこの点Ｐまでの距離 |OP| は、
|OP| = √(x^2 + y^2)
　　　= √( (a cosθ)^2 + (b sinθ)^2 )
このままでも十分利用できると思いますし、例えば離心率 e を使って
|OP| = a √(1 - (1 - b^2/a^2)(sinθ)^2 )
　　　= a √(1 - (e sinθ)^2 )
と書くこともできます。

kumipapa · Answer

極座標・・・。
楕円の長軸と短軸の交点を座標原点 O、長軸を x 軸、短軸を y 軸にとる。
長径を 2a、短径を 2b とすると ( 2a ＞ 2b ＞ 0 ) 、楕円上の点P  (x, y) は、OPとx軸のなす角度をθとして、
x = a cosθ
y = b sinθ
と媒介変数表示される。離心率 e = { √(a^2 - b^2) } / a とおくと、この楕円の焦点の座標は、F ( ae , 0 ) と F' ( -ae , 0 )
動径 R = FP を求めると、
R^2 = ( a cosθ - ae )^2 + b^2 (sinθ)^2 = (a cosθ - ae)^2 + a^2 (1 - e^2) (1 - (cosθ)^2)
これを整理して
R ^ 2 = a^2 ( 1 - e cosθ)^2
R = a ( 1 - e cosθ)
というような感じでいろいろなサイトに載ってるから適当に探してちょ。

ELENTAL777 · Answer

たぶん極座標表示にすれば良いのでは?
極座標表示というのは
x=rcosθ、y=rsinθ
というやつです。思い出しましたか?
これくらいは基本中の基本なので力学の教科書でもしっかり読んでおいたほうがいいですよ～

kumipapa · Answer

「楕円　動径」で検索すればいくらでもヒットします。
サイトを紹介する気にもならないぐらいたくさん。
その程度のことはご自分でどうぞ。

楕円の計算

＞ R = a ( 1 - e cosθ) は、楕円の焦点からの半径でしょうか？

極座標・・・。

この回答への補足

たぶん極座標表示にすれば良いのでは?

「楕円 動径」で検索すればいくらでもヒットします。

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＞　R = a ( 1 - e cosθ)　は、楕円の焦点からの半径でしょうか？

「楕円　動径」で検索すればいくらでもヒットします。