素数についての一考察

数学については素人なので、こういうアイデアってどうなの？（間違いとか無理とかｗ）って教えてほしいと質問します。

自然数ｎと２ｎの間に素数が存在するというなら（私は証明が良く分からなかったのですが）、ｎからｎ＾２（ｎの二乗）までは存在確立が変わらないから、（ｎ＾２－ｎ）からｎ＾２までの間にも素数が存在することを同様の証明で言えると思ったのですが、どうでしょう。

これが言えれば、ｎ＾３と（ｎ＋１）＾３の間にも素数が存在することを言えるのかなとも。

No.5 回答者： kmee 回答日時： 2024/03/23 15:33

> いわゆるある数を素数判定するときにその平方根以下の素数しか考えない

というのは次の原理からです。
「素数の存在確率」とやらは関係ありません。


(1) nを判定する自然数だとする。
合成数なら n =ab (ただし、a>1,b>1)となる自然数a,bが存在する。
素数ならそのようなa,bは存在しない。

(2) ab = ba より、 a≦b としても一般性は失われない。

(3) a>√n、すなわち a=c√n(c>1の実数)である とする。
n = ab = bc√nより、 b=(1/c)√nであり a>bとなり(2)に反する。
よって、a≦√n である。

(4) aが合成数である、すなわち a=pm(pは素数、ｍは2以上の自然数)であるとする。
このとき、 p<mとなる。
ここで n=ab ならば n=pmbであり n=p(mb)である。
よって、 合成数a=pmでnがaで割りきれるかどうかと、nがpで割り切れるかどうかとは等価である。

(1)(2)(3)(4)より
2≦p≦√n の範囲の全ての素数pで n が割り切れないなら、全ての自然数についてn=abとなるa,bが存在しないことになるので、 nは素数。
一つでも割り切れるpが存在するならnは合成数

※ n=ab (√n≦b<n) ではあるが、bが素数かどうかは関係ないので、√n以上n未満に素数が存在することの証明にはならない。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
その話より、n ～ 2n に素数が存在するというのが証明されているところに価値を見ています。
chiha2525予想、解ければ 100万ドルです♪（他人の威を借るｗ

お礼日時：2024/03/26 19:40

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2024/03/23 10:14

> 同様の証明で言えると思ったのですが、どうでしょう。

「(n-1)²とn²の間に素数が存在する」（ルジャンドル予想）というのよりも強い主張ですから、「同様の証明」ゴトキでは到底無理だと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
私には、当たり前のことのように思えるのだけれどなぁ。

よし「n(n-1) と n² の間に素数が存在する」というのを chiha2525 予想とでも名付けようｗ

お礼日時：2024/03/26 19:33

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/03/22 02:21

う～ん, やっぱり「ｎからｎ＾２（ｎの二乗）までは存在確立が変わらない」が何を言っているのかさっぱりわからんなぁ.

まず「存在確立」ってなんやねん, ってところからはじまるわけだ. 10^10歩くらいゆずって「存在確率」のことだとしても, その「存在確率」自体がどのようなものなのかよくわからんし「変わらない」がいったい何と比較しての「変わらない」なのかも謎.

ちなみに
10以下の素数: 4個
100以下の素数: 25個
1000以下の素数: 168個
10000以下の素数: 1229個
100000以下の素数: 9592個
おまけに 1000000以下の素数: 78498個
らしい.

「ｎからｎ＾２（ｎの二乗）までは存在確立が変わらない」で n=1000 を代入すると「1000 から 1000^2 までは存在確立が変わらない」って主張してるんだけど... どういうことだろうか.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
そのような素数定理で表現されてるものを考えれば、その通りにしかなりません。
上のお礼にも書いたように、１００以下の素数を考えるには１０以下の素数の倍数でないことを確認するだけで良いということは、ｎから２ｎに素数があるのと、２ｎから３ｎに素数があるのと、３ｎから４ｎ・・・（ｎ－１）ｎからｎｎまで素数があるのと同じ、となるはずだというものです。

お礼日時：2024/03/23 00:15

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/03/20 11:19

ベルトラン・チェビシェフの定理を拡張しようって

話なんだろうけど、
「ｎからｎ＾２（ｎの二乗）までは存在確立が変わらないから」
がわかんないです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
No.1 さんの回答のお礼にも書きましたが、いわゆるある数を素数判定するときにその平方根以下の素数しか考えないということです。
ｎ＾２までは、というのは『少なくとも』が抜けていたというか、もう少し良い表現があるのでしょうが。

お礼日時：2024/03/21 21:25

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/03/20 10:32

「ｎからｎ＾２（ｎの二乗）までは存在確立が変わらない」とはどういうことなのか.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
存在確立が変わらないってのは、１００までの素数を考えるときに１０の二乗（以下の素数）しか考慮しないってことです。
ｎから２ｎの素数の初等的な証明というのが、そのような感じだと思ったので存在確立と書きました。

お礼日時：2024/03/21 21:26