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エラトステネスの篩を考える。
ある素数 Pn( n番目の素数)までを考えたとき、それまでの素数で埋まる合成数の並びの最大数は、素数が無限に存在することから ( Pn * 2 - 1 ) が最大となる。
次に有名な素数判定の、平方根までを考えれば良いということから、ある数 m の合成数の並びの最大数は、その平方根 √m から ( √m * 2 - 1 ) が最大となる。
このため、ある数 m において、m から( m + ( √m * 2 - 1 )) に素数が存在すると言える。
(あるいは 素数 Pk( k番目の素数)から( Pk + ( √Pk * 2 - 1 )) に素数が存在すると言える。)
数学に詳しい人からみれば、どこがおかしいでしょうか。あるいは正しいでしょうか。
これが正しいのならば、ルジャンドル予想も解けたことになるのですが・・
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A 回答 (11件中1~10件)
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No.11
- 回答日時:
#9へのお礼の
「
7 < 11 <= (7 + (2√7 - 1)) = (7 + 4.29…) = 11.29…
」
は
「
ある数 m において、m から( m + ( √m * 2 - 1 )) に素数が存在すると言える。
」
の
ことなのだけれども
その前の
「
ある数 m の合成数の並びの最大数は、
その平方根 √m から ( √m * 2 - 1 ) が最大となる。
」
は間違っているのです
この間違っていることをごまかすために
「
ある数 m において、m から( m + ( √m * 2 - 1 )) に素数が存在すると言える。
」
をいっているのです
「
ある数 m=7 の合成数の並びの最大数は、
その平方根 √m=√7 から ( √m * 2 - 1 )=2√7-1 が最大となる。
」
は間違っているのです
No.10
- 回答日時:
> ( Pn * 2 - 1 ) が最大となる。
「最大となる」がmによってはそういう
素数の隙間(連続する合成数の列)が存在し得るという
意味ならベルトラン・チェビシェフの定理から誤り。
「最大となる」が「以下である」という意味なら
Pn * 2 - 1 は見積もりとしてデカすぎるけど合ってる。
No.9
- 回答日時:
m=7
のとき
合成数の並びの最大数は
8,9,10
の
3以上になるはずなのに
√m=√7≒2.6…<3<4<4.29…≒2√7-1=2√m-1
√mと2√m-1の間の整数
3,4
は最大でも2にしかならないので
「
ある数 m の合成数の並びの最大数は、
その平方根 √m から ( √m * 2 - 1 ) が最大となる。
」
は間違っているのです
m=23
のとき
合成数の並びの最大数は
24,25,26,27,28
の
5以上になるはずなのに
√m=√23=4.79583…<5<6<7<8<8.591…=2√23-1=2√m-1
√mと2√m-1の間の整数
5,6,7,8
は最大でも4にしかならないので
「
ある数 m の合成数の並びの最大数は、
その平方根 √m から ( √m * 2 - 1 ) が最大となる。
」
は間違っているのです
あら、計算間違えたかな?
7 < 11 <= (7 + (2√7 - 1)) = (7 + 4.29…) = 11.29…
23 は略
って意味なのですが・・
No.8
- 回答日時:
m=23
のとき
合成数の並びの最大でも数は
√m=√23=4.79583…<5<6<7<8<8.591…=2√23-1=2√m-1
5,6,7,8
の
4は
最大でも数とはなりません
24,25,26,27,28
の
5が
最大となります
ああ、言い方が難しいな。
今は『次の素数』を考えているので、『合成数の並びの最大数』というのは、次の素数がそれまでに出てくるという意味なのです。その根拠が『合成数の並びの最大数』なのですが、それ以外の言い方が思い当たらない・・
具体例は、
23 < 29 < (23 + 8.591…) = 31.591
No.7
- 回答日時:
チェビシェフの定理から
x>1とすれば,xと2xとの間に必ず素数がある
から
m>1のとき
√mと2√mとの間に必ず素数があるけれども
m から( m + ( 2√m - 1 ))との間に素数があるとはいえない
No.6
- 回答日時:
P5=11
の場合
P5=11までを考えたとき、
それまでの素数
2,3,5,7
だけを持つ合成数は
2,2^2,2^3,2^4,2^5,2^6,…
と無限にあるから最大数は存在しない
No.5
- 回答日時:
素数Pnに対して
( 2Pn - 1 )以下の合成数の素因数はP(n-1)以下とはいえるけれども
それはPnと2Pnの間に必ず素数があることを示すものではない
チェビシェフの定理から
x>1とすれば,xと2xとの間に必ず素数がある
ことは
1852年にチェビシェフによって証明済み
1932年にポール・エルデシュが初等的な証明を与えた
No.4
- 回答日時:
最初の3行は、もしかして「n+1番目の素数はn番目の素数の2倍より小さい」という命題の主張ですかね?
ま、何であれ、証明なしに主張するのは「おかしい」ですけど。
No.2
- 回答日時:
「ある数 m の合成数の並び」とはどのように定義されていて, その「最大値」とは何で, そしてそこからどうして
ある数 m において、m から( m + ( √m * 2 - 1 )) に素数が存在する
といえるのか.
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