素数（合成数の並びの最大数）について

エラトステネスの篩を考える。
ある素数 Pn（ n番目の素数）までを考えたとき、それまでの素数で埋まる合成数の並びの最大数は、素数が無限に存在することから ( Pn * 2 - 1 ) が最大となる。

次に有名な素数判定の、平方根までを考えれば良いということから、ある数 m の合成数の並びの最大数は、その平方根 √m から ( √m * 2 - 1 ) が最大となる。
このため、ある数 m において、m から( m + ( √m * 2 - 1 )) に素数が存在すると言える。

（あるいは 素数 Pk（ k番目の素数）から( Pk + ( √Pk * 2 - 1 )) に素数が存在すると言える。）

数学に詳しい人からみれば、どこがおかしいでしょうか。あるいは正しいでしょうか。
これが正しいのならば、ルジャンドル予想も解けたことになるのですが・・

質問者からの補足コメント

• 

  『合成数の並びの数』というのは、具体的には 23 と 29 の間が 5 ということです。
  エラトステネスの篩のような考えをしていただければ。
  
  『( Pn * 2 - 1 ) が最大となる。』は『最大でも( Pn * 2 - 1 ) となる。』と書くべきでした。

    補足日時：2024/07/15 14:22

• 私は数学には詳しくないので「１＋１＝２」を数学的に正しく証明するなんてのは難しいのです。
  「ある数 m の合成数の並びの最大数が ( 2√m - 1 ) になる」ってのは、素数の性質から１＋１＝２であることのように非常に当たり前のことだと思っているのですが（それが分からないなら仕方ないのかな）、それってどうなのでしょう？というのが、言わばこの大元の質問なのです。
  
  ( 2√m - 1 ) というのが、もっと荒く 4√m とかで、ある数より大きい素数に対して成り立つとかでも良いのですが。

  No.14の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/07/27 17:43

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/27 20:39

「ある数 m の合成数の並びの最大数が ( 2√m - 1 ) になる」

のは当たり前のことではありません

「
ある数 m の合成数の並びの最大数は、
その平方根 √m から ( √m * 2 - 1 ) が最大となる。
」
は間違っているのです
その間違いをごまかして

「ある数 m の合成数の並びの最大数が ( 2√m - 1 ) になる」
と
いっているのだから
当たり前のことではありません

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/24 09:50

ルジャンドル予想とは,任意の自然数nについて

n^2と(n+1)^2の間には必ず素数が存在するという予想で
計算により,4×10^18までの自然数に対し予想の正しさが確かめられているのです
だけれども証明されていないから予想となっているだけなのです
無限にある自然数に対する証明は
通常は数学的帰納法によって証明するのです
証明できるのなら証明してください

ある数 m の合成数の並びの最大数、
(mより大きい合成数の並びの最大数)
が
なぜ
mより小さい( 2√m - 1 ) になるのか証明してください

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/24 05:53

とにかく

「
ある数 m の合成数の並びの最大数は、
その平方根 √m から ( √m * 2 - 1 ) が最大となる。
」
は間違っているのです
その間違いをごまかすために
√m
を省いて
「
ある数 m の合成数の並びの最大数は、
その平方根 ( √m * 2 - 1 ) が最大となる。
」
としているのです
「
ある数 m の合成数の並びの最大数は、
その平方根 √m から ( √m * 2 - 1 ) が最大となる。
」
は間違っているのです
「
ある数 m の合成数の並びの最大数は、
その平方根 ( √m * 2 - 1 ) が最大となる。
」
が間違っていないのならばそれを証明してください

証明する場合は
すべての自然数mに対して証明しなければいけません

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/24 04:12

m=7のとき

√m=２．64…
から
2√m-1=4.29…
の
間の整数は3,4の2個しかないから
２個が最大となるのは間違いなのだす
「
ある数 m の合成数の並びの最大数は、
その平方根 √m から ( √m * 2 - 1 ) が最大となる。
」
は間違っているのです

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/19 01:27

#9へのお礼の

「
7 < 11 <= (7 + (2√7 - 1)) = (7 + 4.29…) = 11.29…
」
は
「
ある数 m において、m から( m + ( √m * 2 - 1 )) に素数が存在すると言える。
」
の
ことなのだけれども
その前の
「
ある数 m の合成数の並びの最大数は、
その平方根 √m から ( √m * 2 - 1 ) が最大となる。
」
は間違っているのです
この間違っていることをごまかすために
「
ある数 m において、m から( m + ( √m * 2 - 1 )) に素数が存在すると言える。
」
をいっているのです
「
ある数 m=7 の合成数の並びの最大数は、
その平方根 √m=√7 から ( √m * 2 - 1 )=2√7-1 が最大となる。
」
は間違っているのです

この回答へのお礼

返事が遅くて申し訳ありません。
「
ある数 m=7 の合成数の並びの最大数は、
その平方根 √m=√7 から ( √m * 2 - 1 )=2√7-1 が最大となる。
」
私が言っているのは、
m=7 の場合（つまり 1～7 の数の中で）、合成数の並びは、
4 ：１個
6 ：１個
で、これらは (2√7 - 1) =4.…より少ない。
（なので ７～ (7+4.…）に素数が存在する。）

m=23 の場合（つまり 1～23 の数の中で）、合成数の並びは、
4 ：１個
6 ：１個
8 9 10 ：３個
12 ：１個
14 15 16 ：３個
18 ：１個
20 21 22 ：３個
で、これらは (2√23 - 1) =8.…より少ない。
（なので 23～ (23+8.…）に素数が存在する。）

もう少し大きい数字になると反例が出てくるのかな？

お礼日時：2024/07/23 22:48

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/16 11:47

> ( Pn * 2 - 1 ) が最大となる。

「最大となる」がmによってはそういう
素数の隙間(連続する合成数の列)が存在し得るという
意味ならベルトラン・チェビシェフの定理から誤り。

「最大となる」が「以下である」という意味なら
Pn * 2 - 1 は見積もりとしてデカすぎるけど合ってる。

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/15 20:34

m=7

のとき
合成数の並びの最大数は
8,9,10
の
3以上になるはずなのに

√m=√7≒2.6…<3<4<4.29…≒2√7-1=2√m-1

√mと2√m-1の間の整数
3,4
は最大でも2にしかならないので

「
ある数 m の合成数の並びの最大数は、
その平方根 √m から ( √m * 2 - 1 ) が最大となる。
」
は間違っているのです

m=23
のとき
合成数の並びの最大数は
24,25,26,27,28
の
5以上になるはずなのに

√m=√23=4.79583…<5<6<7<8<8.591…=2√23-1=2√m-1

√mと2√m-1の間の整数
5,6,7,8
は最大でも4にしかならないので

「
ある数 m の合成数の並びの最大数は、
その平方根 √m から ( √m * 2 - 1 ) が最大となる。
」
は間違っているのです

この回答へのお礼

あら、計算間違えたかな？

7 < 11 <= (7 + (2√7 - 1)) = (7 + 4.29…) = 11.29…
23 は略

って意味なのですが・・

お礼日時：2024/07/18 22:21

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/15 17:33

m=23

のとき
合成数の並びの最大でも数は

√m=√23=4.79583…<5<6<7<8<8.591…=2√23-1=2√m-1

5,6,7,8
の
4は
最大でも数とはなりません

24,25,26,27,28
の
5が
最大となります

この回答へのお礼

ああ、言い方が難しいな。
今は『次の素数』を考えているので、『合成数の並びの最大数』というのは、次の素数がそれまでに出てくるという意味なのです。その根拠が『合成数の並びの最大数』なのですが、それ以外の言い方が思い当たらない・・

具体例は、
23 < 29 < (23 + 8.591…) = 31.591

お礼日時：2024/07/18 22:17

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/14 19:37

チェビシェフの定理から

x>1とすれば,xと2xとの間に必ず素数がある
から
m>1のとき
√mと2√mとの間に必ず素数があるけれども

m から( m + ( 2√m - 1 ))との間に素数があるとはいえない

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/14 09:01

P5=11

の場合
P5=11までを考えたとき、
それまでの素数
2,3,5,7
だけを持つ合成数は

2,2^2,2^3,2^4,2^5,2^6,…

と無限にあるから最大数は存在しない