条件付き極値問題といわれる問題です。ラグランジュの乗数法 について、質問したいことがあります。 条件

条件付き極値問題といわれる問題です。ラグランジュの乗数法
について、質問したいことがあります。

条件g(x,y)=0が等号であれば関数f(x,y)は極大値、極小値をもつ、(最大値、最小値)

g(x,y)≦0が不等号の場合は、境界上と境界内部を別々に調べる。
このとき、境界上では最大値、境界内部で最小値を取るというのは決まっているのでしょうか？


写真の問題についてです。
境界内部で極値を調べる方の解で、
f(x,y)=(x-1/2)^2+2y^2-1/4
とありますが、これは平方完成すると求まります。緑マーカで引いた、点Aにおいて、とありますが平方完成と停留点の関係はあるのですか？

(つまり、停留点を(1/2,0)と求めてるがこの点を求める意味はあるのか、平方完成だけで最小値と決めるのはまずい？)

また、解1で
fx=λgx ①
fy=λgy ②
x^2+y^2=1 ③
の連立方程式を解く時に、
y=0、x=1
という点は出ないですか？
②において
4y-2yλ=0
2y(2-λ)=0
λ=2、y=0
と求まりました。

質問が長く多くなってしまい申し訳ないです。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/15 22:49

>g(x,y)≦0が不等号の場合は、境界上と境界内部を別々に調べる。

このとき、境界上では最大値、境界内部で最小値を取るというのは決まっているのでしょうか？<

●決まってません。
g(x,y)≦0の場合の極値問題は、g<0 と g=0 の場合に分けます。
g<0 の時は、まず、この制限無しに fの極値を判定します(開
集合領域の時の最大最小は極値となる)。そして、その点が
g<0 にあればよいのです。無ければ、g<0 に最大最小は無い。

つぎに、g=0 で最大最小を求め、g<0 の値と比較して最大最小
を選べばよい(極大極小などの判定条件もありますが、面倒なの
で候補が少ないときは、停留点をもとめ、極値判定を省き、値
の大小を比較した方が簡単)。

ちなみに、有界閉集合上(今回の g≦0)の連続関数は必ず最大値と
最小値をもつという有名な定理を使います。ちなみに、今回の
g=0 の領域も有界閉集合なので、境界だけでも最大最小を持つ。


>点Aにおいて、とありますが平方完成と停留点の関係はあるのですか？
(つまり、停留点を(1/2,0)と求めてるがこの点を求める意味はあるのか、平方完成だけで最小値と決めるのはまずい？)<
●文脈としては、
　fx=fy=0 ・・・・・・・・①
から停留点はただ
1つ、(1/2,0) と言っています。また
　f≧-1/4・・・・・②
なので、これは最小値と言っていますが、fが微分可能なので
極小値でもあり、上の議論で極値は1つだけなので、これが最
小値と言っている(上で述べたように、停留点の大小を比較す
るだけで十分)。

話として、最小値を求めるだけなら、②だけでよいが、最大値
も求めなければならないので、他の停留点の情報がいる。ただ、
停留点は1つだけなので、最大となる停留点は無く、領域の境
界を調べる必要がある、と言っている。

ただ、この回答が杜撰なのは②を満たす点が領域
　x²+y²≦1
内にあることを言わねばならない(自明というのは杜撰)。


>y=0、x=1 という点は出ないですか？<
●出てきます。正確には
　y=0、x=±1
です。そして、
　x=-1/2, y=±(√3)/2
の4つの点の最大・最小を比較して求める必要がある(最小は
①で、求まっているが、同じ値があるかもしれないので)。
　f(±1,0)=1+2・0-(±1)=0, 2
　f(-1/2, ±(√3)/2)=1/4+2・3/4-(-1/2)=9/4

これらの3つと①から選ぶと
　最小: -1/4 (x,y)=(1/2,0)
　最大: 9/4 (x,y)=(-1/2, ±(√3)/2)

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
理屈から説明して頂き、ありがとうございます。かなり分かりやすかったです。

理解することが出来ました。助かりました！

お礼日時：2023/05/17 10:32

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/16 03:16

単純に、

x² + y² ≦ 1　⇔　(-1 ≦ x ≦ 1 かつ 0 ≦ y² ≦ 1 - x²)
より
f(x) ≧ x² + 0 - x = (x - 1/2)² - 1/4 ≧ -1/4.
等号成立は y = 0, x = 1/2 のとき。
f(x) ≦ x² + 2(1 - x²) - x = - x² - x + 2 = - (x + 1/2)² + 1/4 + 2 ≧ 9/4.
等号成立は y² = 1 - x², x = -1/2 のとき。
すなわち x = -1/2, y = ±√3/2 のとき。
...じゃあ、あかんのか？
中学生の問題やぞ。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/15 21:52

一般に、不等式の制約条件が付く場合にはラグランジュの未定乗数法を拡張したものを使います。

「KKT条件」で検索なされよ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！名前がついていたのは初耳でした...。
色々調べて見ます。

お礼日時：2023/05/17 01:08