
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
f(x)=2(x-a/2)^2-a^2/2+b
y=f(x)は下に凸のグラフで、軸の方程式がx=a/2、頂点(a/2,-a^2/2+b)の放物線であることがわかります。
>y=f(x)のグラフの頂点のy座標は-1である。
これから、
-a^2/2+b=-1
b=a^2/2-1
これをもとの式に代入すると、
f(x)=2(x-a/2)^2-1
y=f(x)は下に凸のグラフで、軸の方程式がx=a/2、頂点(a/2,-1)の放物線
>-1≦x≦2におけるf(x)の最大値をM、最小値をmとする。
軸の方程式がa/2の値によって左右に動くので、最大値を決めるにはa/2を場合わけして考える必要があります。
-1≦x≦2の中点のx座標は(-1+2)/2=1/2
x=1/2のときx=-1またはx=2でf(x)は最大値をとります。
この点を基準に場合わけします。
i a/2<1/2のとき、すなわちa<1のときx=2のとき最大値f(2)=a^2/2-4a+7 ∴M=a^2/2-4a+7
ii a/2≧1/2のとき、すなわちa≧1のときx=-1のとき最大値f(-1)=a^2/2+2a+1 ∴M=a^2/2+2a+1
(3)最小値についても同じように場合わけしてみます。
i' a/2<-1のとき、すなわちa<-2のときx=-1のとき最小値f(-1)=a^2/2+2a+1
ii' -1≦a/2≦2のとき、すなわち-2≦a≦4のときx=a/2のとき最小値-1 ←この範囲では頂点の座標が最小値になります。
iii' a/2>2のとき、すなわちa>4のときx=2のとき最小値f(2)=a^2/2-4a+7
a>0より、
iは範囲が0<a<1となり、
i'は考えなくてよい。ii'は範囲が0<a≦4となる。
最大値i,iiと最小値ii',iii'より、以下の場合わけになります。
i" 0<a<1のときiより、M=a^2/2-4a+7
ii'よりm=-1
ii" 1≦a≦4のときiiよりM=a^2/2+2a+1
ii'よりm=-1
iii" 4<aのときiiよりM=a^2/2+2a+1
iii'よりm=a^2/2-4a+7
これらをそれぞれM-m=8aに入れて計算します。
i" a^2/2-4a+7-(-1)=8aよりa=12±8√2 0<a<1よりa=12-8√2
ii" a^2/2+2a+1-(-1)=8aよりa=6±4√2 1≦a≦4より不適
iii" a^2/2+2a+1-(a^2/2-4a+7)=8aよりa=3 4<aより不適
よって、a=12-8√2
簡単な図を書いて、軸の方程式x=a/2の位置に注意しながら最大値と最小値に関して場合わけをしてみてください。最後の(3)はこれらの準備をしておくとただ代入して式を計算するだけです。
No.2
- 回答日時:
#1です。
訂正です。>-1≦x≦2の中点のx座標は(-1+2)/2=1/2
>x=1/2のときx=-1またはx=2でf(x)は最大値をとります。←「x=1/2のとき」というより、正確には「軸の方程式x=a/2=1/2のとき」です。
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