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y=-|x-2|+3のグラフで
問題 a、bをみたす定数とする。このとき、a≦x≦bに対する値域が2-a≦y≦bとなるようなa.bを求めよ
という問題で解説で1≦a<2、a<1となっていますが、1を0にしたらダメですか?

「y=-|x-2|+3のグラフで 問題 a」の質問画像
gooドクター

A 回答 (3件)

写真の「解説」には、なぜ 1≦a<2 と a<1 に場合分けしたか


の理由が書いてありません。しょうーもない解説だなあ。
だから、あなたの疑問が生じたのですね。

どうやら、引用されてない問題文に a<2<b という条件があるようなので、
y=-|x-2|+3, a≦x≦b のグラフは、x=2 を頂点とする「ヘ」の字型の折れ線
になります。 x=2 のとき y が最大ですが、
y が最小になるのは x=a か x=b のどちらかです。 どちらでしょうか?

y=-|x-2|+3 は左右対称なので、 x=a と x=b のうち x=2 から遠い方のとき
y は最小になります。 このへんは、折れ線を思い浮かべて考えましょう。
b=3 が既に判っているので、
x=a から x=2 までが x=b=3 から x=2 までよりも遠いか近いかは、
a が 1 よりも大きいか小さいかで区別できることになります。
だから、 a の範囲を 1≦a と a<1 に場合分けしたのです。

他の場所で場合分けする理由がありません。
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y=-|x-2|+3のグラフはかけましたか?



x<2 のとき、y=x+1
x≧2 のとき、y=-x+5

x=2 まで増加
x=2 のとき、y=3 で最大
x=2 から減少
直線 x=2 に関して対称なグラフです。

a≦x≦3 における最小値を考えています。(a<2 です)
x=2 より右側で最小となるのは、x=3 のときです。
x=2 より左側で最小となるのは、x=a のときです。
よって、右側と左側のどちらが小さいかということが問題になります。

グラフは直線 x=2 に関して対称なグラフなので、
x=2 から右に1離れた x=3 のときと、
x=2 から左に1離れた x=1 のとき同じ値となります。
したがって、
x=1 と x=a の大小関係が問題になり、
a>1 のときは、右側が最小(x=3 のとき)
a<1 のときは、左側が最小(x=a のとき)
となります。

以上のことから、a=1 を境として場合分けします。
a=0 ではダメです。
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y=3-|x-2|


x>2の時y=3-(x-2)=5-x
x<2の時y=3-(2-x)=x+1

0≦a<2 のとき
a=3/2
の時
a=3/2≦x≦3
において
x=3/2の時y=a+1=3/2+1=5/2=2.5
x=3の時y=2
だから
x=3/2の時のy=2.5
より
x=3の時のy=2
の方が小さいから
yの最小値は2だから
yの最小値は
a+1=2.5
にならないからダメ
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