ｘ＋ｙ＋z＝3 ｘ＾2＋y^2＋z^2＝9のとき、4xyの最大値 最

ｘ＋ｙ＋z＝3 ｘ＾2＋y^2＋z^2＝9のとき、4xyの最大値 最小値はいくらになりますか　ｘ、ｙ、ｚは実数

No.4 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/09/21 10:14

言いたくはないけど、何でもかんでも微分と言うのはやめようよ。

いずれにしても、zは不要になる。

x＋y＝a、xy＝bとすると、実数条件から　a＾2-4b≧0　‥‥(1)
とすると、条件は　a＋z＝3　ｘ＾2＋y^2＋z^2＝(x＋y)＾2-2xy＋z＾2＝a＾2-2b＋z＾2＝9　からzを消すと　b＝a＾2-3a　‥‥(2)
(1)と(2)から、0≦a≦4　‥‥(3)　4xy＝4b＝4(a＾2-3a)＝4(a-3/2)＾2-9　これはaの2次関数だから　(3)の範囲で考えると　-9≦4xy≦16。
但し、最大値と最小値を与えるxとyの値は？

この回答へのお礼

教えていただきありがとうございました。

お礼日時：2010/09/25 15:50

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2010/09/19 14:31

x+y+z=3 …(1)

x^2+y^2+z^2=9…(2)
4xy=k　　　　…(3)
とおくと
(3)から
y=k/(4x) …(4)
(1)から
z=3-x-k/(4x)…(5)
(4),(5)を(2)に代入してy,zを消去して整理すると
16x^4-48x^3+4kx^2-12kx+k^2=0 …(6)
x(≠0)を実数の範囲で変化させたときのkの範囲を求めればよい。
そのときのkの上限、下限がk=4xyの最大値、最小値となる。
最大値、最小値を求めてみよう。
(6)の左辺=f(x,k)とおく。
xでの微分f'(x,k)=0を満たすxがkの最大値、最小値を与える候補なので
f'(x,k)=0から
4(16x^3-36x^2+2kx-3k)=0 …(7)
(6),(7)を連立方程式として解くと(4),(5)からx≠0の場合を除けば
(x,k)=(2,16),(3(1±√5)/4,-9)
このとき(4),(5)からy,zも求めておくと
(x,y,z,k)=(2,2,-1,16),(3(1±√5)/4,3(1-(±√5))/4,3/2,-9)（復号同順)

x=0の場合はk=4xy=0なので上のkの範囲に入っており最大値、最小値にはならない。

k=4xyの最大値=16(x=y=2,z=-1の時)
k=4xyの最小値=-9(x=3(1±√5)/4,y=3(1-(±√5))/4,z=3/2の時,復号同順)

実際に(6)式のkを縦軸、xを横軸にとってグラフを描いてみるとkの最大値、最小値の意味が
よく分かるだろう。（添付図参照）

なお、別解として「ラグランジュの未定乗数法」（参考URL）を使う方法もあります。

参考URL：http://szksrv.isc.chubu.ac.jp/lagrange/l1.html

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2010/09/19 01:44

考え方だけ

平面：x+y+z=3　と　球面：x^2+y^2+z^2=9　が交わる曲線は、
点(0,0,3),(0,3,0),(3,0,0)を通る円です。
それをxy座標に投影すると、y=xの直線を軸とする楕円になっています。
なので、その楕円を時計回りに45°回転させると、
A(X-B)^2+CY^2=1
の形になります。

また、4xy=k　と置けば、このグラフは双曲線ですから、時計回りに45°回転させると、
X^2-Y^2=D
の形になります。

この２つの式からYを消して、
k=(Xの2次式)
の形になれば平方完成形にして最大値、最小値を求めることができます。


２つの式をグラフに描いてみれば、最大値、最小値が見えてくるでしょう。

No.1 回答者： m234023b 回答日時： 2010/09/19 00:12

x+y+z=3からz=-x-y

これを第2式に代入すれば簡単に求まります