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数学 2時間数に関わる問題について教えてください。

x≧1 y≧-1 2x+y=5 であるとき、xyの最大値と最小値を求めよ。

という問題です。
これを私は、一次関数 y=-2x+5の図を描き、上の条件の範囲内より、

最大値は x=1 y=3 のときで、xy=3
最小値は x=3 y=-1 のときで、xy=-3

と解いたのですが、回答を見ると、最大値が25/8
となってました。(最小値は正解)

私の解法は、なぜ誤りなのか、わかりやすく教えてほしいです。

A 回答 (7件)

x=1の時にyが最大値になる事は確かなんだけど、xyが最大になるとは限らないからね。


例えば、x=1.1の時y=2.8。xy=3.08になり3よりは大きい。

雰囲気で解かずに、チャント式で計算する
xy=-2x²+5xだから、-2x²+5xのグラフを考えて最大、最小を求める。

(yを使うと誤解するから)
g=-2x²+5x=-2(x-5/4)²+25/8
上に凸の2次曲線になるから、x=5/4の時に最大値25/8だね。
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この回答へのお礼

色々な方から丁寧なな解説をいただきましたが、個人的に1番わかりやすかったです。どうもありがとうございました!

お礼日時:2022/11/05 10:36

>私の解法は、なぜ誤りなのか



x, y が整数だと 思いこんだのが 間違いの元と 思われる。
答を出した 根拠が書かれていないので、推測ですが。
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こんな感じ↓

「数学 2時間数に関わる問題について教えて」の回答画像6
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多分納得いかないだろうから、実際の数値を当てはめて考えてみよう。



例えばxが1.2の時、yはいくつになる?
で、その時のxとyの積はいくつになる?

……ということだ。

最小値が合っているのは ”たまたま” ってこと。
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x≧1 y≧-1 2x+y=5 であるとき


y=5-2x≧-1 なので x≦3 ∴1≦x≦3
xy=x(5-2x)=-2(x-5/4)²+25/8
グラフで考えると(上に凸)、軸が1≦x≦3の範囲にあるから、
∴ x=5/4 の時、最大値 25/8
最小値は、(xの範囲(1≦x≦3)から考えると、X=3が軸から遠い)
x=3 の時 最小値 -3
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x≧1


y≧-1
2x+y=5
y=5-2x

xy
=x(5-2x)
=5x-2x^2
=25/8-2(x-5/4)^2
≦25/8

だから

x=5/4 のとき
y=5/2
最大値は
xy=25/8>3

だからxy=3は間違い
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最大・最小の根拠が示されていないから。

だから、最小が
合っているのは、まぐれ。
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