数学I y=-(x^2-4x+1)^2+2x^2-8x-1(0≦x≦3)について (i)x^2-4x

数学I

y=-(x^2-4x+1)^2+2x^2-8x-1(0≦x≦3)について
(i)x^2-4x+1=tとおくときtのとりうる値の範囲を求めよ
(ii)yの最大値、最小値を求めよ。

解説を見てもまじで分かりません。解き方を教えて欲しいです。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/09 21:26

(i)

0≦x≦3
t=x^2-4x+1=(x-2)^2-3≧-3
x=0のときt=1
x=3のときt=-2
∴
-3≦t≦1

(ii)
y=-(x^2-4x+1)^2+2x^2-8x-1
↓t=x^2-4x+1だから
↓2t=2x^2-8x+2だから
y=-t^2+2t-2-1
y=-t^2+2t-3
y=-(t-1)^2-2≦-2
t=1のときx=0のときyの最大値-2
t=-3のときx=2のときyの最小値
y=-18

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/09 20:37

(i) はできないとかなりマズい。

t = x^2 - 4x + 1 = (x - 2)^2 - 3 のグラフを xt平面に描いて
0 ≦ x ≦ 3 の範囲で t がとり得る値の範囲を考える。
結果は -3 ≦ t ≦ 1 になる。

(ii) は、(i)の結果を踏まえると、
-3 ≦ t ≦ 1 の範囲で y = -t^2 + 2t - 3 の y がとり得る値の範囲
を求める問題になって、やることは(i)と同様だとわかる。
y = -t^2 + 2t - 3 = -(t - 1)^2 - 2 のグラフを ty平面に描いて
考えれば、 -18 ≦ y ≦ -2 となる。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/09 20:32

＞(i)x^2-4x+1=tとおくとき

二次関数の最大・最小の問題ですね。
　y = x^2 - 4x + 1
と書いて、0 ≦ x ≦ 3 の範囲での最大・最小を求めればよいです。
y が t になっても、やることは同じ。

＞(ii)yの最大値、最小値を求めよ。

　y = t^2 + 2t - 3
ですから、(i) で求めた「t の範囲」での二次関数の最大・最小の問題です。
x が t になっても、やることは同じ。

関数の「変数の記号」が変わったからといって、惑わされないようにしましょう。

この回答へのお礼

何回も回答ありがとうございます。またお願いします。

お礼日時：2024/04/10 00:58