多変数関数の最大/最小問題の一般的解法

多変数関数、例えば f(x,y,z) の最大値/最小値を求めるときに

∂f/∂x=0
∂f/∂y=0
∂f/∂z=0

の連立方程式を解く方法が、講義ではよくでてきますが
導関数が =0 であっても、極値をとるかどうかはわからないし
極値をとったとしても極大か極小かはわからないと思うのですが…

こういう解法がとられる場合には、暗黙の了解として
明らかに極大(極小)となることを前提としているのでしょうか？
もしそうなら、それは容易に判断できることなのでしょうか？

No.2 回答者： info22 回答日時： 2008/05/29 02:00

>　導関数が =0 であっても、極値をとるかどうかはわからないし

>　明らかに極大(極小)となることを前提としているのでしょうか？

極値をとる候補点には違いありませんね。極大値または極小値をとる場合は必ず、全ての偏導関数が＝０になります。鞍形点または鞍形面が存在しますのでそれぞれの候補点について、全ての変数について極大となっているか、あるいは極小になっているかを調べます。
その候補点の近傍の増減を調べれば、その点で極大値をとるか、極小値を取るか、鞍型点となるかが分かってくるのです。

2変数関数については、2次の偏導関数を使った判別式ができていますが、
全ての場合を尽くしてはいません。候補点の偏導関数が高次までゼロであるケースもあり、その場合は個々に近傍の増減を調べてやることで極大、極小が分かります。
これは1変数関数の極大、極小を調べるのと同じことをn変数関数関数の候補点について、全ての変数について増減を調べることで解決します。より簡単な低次の偏導関数を使って極大、極小を調べます。それで解決できない場合は更に高次の偏導関数を使います。
大多数のケースでは形式的に2次までの偏導関数で極大、極小の判別ができますが、高次のゼロ点が含まれる場合は簡単には判別にはできませんね。
たとえば4変数の場合
f(x,y,z,w)=(x-a)^5*(y-b)^4*(z-c)^6*(w-d)^7
といった場合が(a,b,c,d)が鞍型点になり極値をとりません。
しかし、容易に因数分解できない場合、何次までの偏導関数を使えば極大、極小が判別できるか考えて見てください。
特異な場合として鞍型谷（峰）のケースもありますので見逃さないようにしないと判別を誤り安いケースも発生します。2変数までなら3次元プロットで鞍型谷（峰）も見つけやすいですね。3変数以上になると注意深く判別しないといけませんね。

参考までに2変数関数の極値判別法を扱っているURLをあげておきますのでご覧下さい。この場合も判別できないケースがあります。それでの2変数関数ですから3次元曲面プロットができますので、極大、極小が確認出来て、判別法を補えます。

参考URL：http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/101 …

No.1 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/05/29 01:34

その解法の要点は、

「∂f/∂x=∂f/∂y=∂f/∂z=0 ならば、f はその点で極値をとる」
ではありません。その補題は、成立しません。
正しくは、定義域上で微分可能な関数 f が、
「∂f/∂x=∂f/∂y=∂f/∂z=0 でなければ、f はその点で極値をとらない」
です。
∂f/∂x=∂f/∂y=∂f/∂z=0 でない点は、
極値でないことがハッキリしているので、予選落ち。最大最小値は、
∂f/∂x=∂f/∂y=∂f/∂z=0 となる点と、定義域の境界上のどこか
から探すことになります。
そのために、まず、連立方程式 ∂f/∂x=∂f/∂y=∂f/∂z=0 を解く。
そこで得られた解は、最大最小点の、単なる候補に過ぎませんから、
実際に極値であるか否かなどの吟味が必要です。