素数（合成数の並びの最大数）について

エラトステネスの篩を考える。
ある素数 Pn（ n番目の素数）までを考えたとき、それまでの素数で埋まる合成数の並びの最大数は、素数が無限に存在することから ( Pn * 2 - 1 ) が最大となる。

次に有名な素数判定の、平方根までを考えれば良いということから、ある数 m の合成数の並びの最大数は、その平方根 √m から ( √m * 2 - 1 ) が最大となる。
このため、ある数 m において、m から( m + ( √m * 2 - 1 )) に素数が存在すると言える。

（あるいは 素数 Pk（ k番目の素数）から( Pk + ( √Pk * 2 - 1 )) に素数が存在すると言える。）

数学に詳しい人からみれば、どこがおかしいでしょうか。あるいは正しいでしょうか。
これが正しいのならば、ルジャンドル予想も解けたことになるのですが・・

質問者からの補足コメント

• 

  『合成数の並びの数』というのは、具体的には 23 と 29 の間が 5 ということです。
  エラトステネスの篩のような考えをしていただければ。
  
  『( Pn * 2 - 1 ) が最大となる。』は『最大でも( Pn * 2 - 1 ) となる。』と書くべきでした。

    補足日時：2024/07/15 14:22

• 私は数学には詳しくないので「１＋１＝２」を数学的に正しく証明するなんてのは難しいのです。
  「ある数 m の合成数の並びの最大数が ( 2√m - 1 ) になる」ってのは、素数の性質から１＋１＝２であることのように非常に当たり前のことだと思っているのですが（それが分からないなら仕方ないのかな）、それってどうなのでしょう？というのが、言わばこの大元の質問なのです。
  
  ( 2√m - 1 ) というのが、もっと荒く 4√m とかで、ある数より大きい素数に対して成り立つとかでも良いのですが。

  No.14の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/07/27 17:43

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/14 04:57

素数Pnに対して

( 2Pn - 1 )以下の合成数の素因数はP(n-1)以下とはいえるけれども
それはPnと2Pnの間に必ず素数があることを示すものではない
チェビシェフの定理から
x>1とすれば,xと2xとの間に必ず素数がある
ことは
1852年にチェビシェフによって証明済み
1932年にポール・エルデシュが初等的な証明を与えた

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2024/07/14 00:35

最初の3行は、もしかして「n+1番目の素数はn番目の素数の2倍より小さい」という命題の主張ですかね？

ま、何であれ、証明なしに主張するのは「おかしい」ですけど。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/13 17:01

>それまでの素数で埋まる合成数の並びの最大数は

どういう意味でしょう？

>ある数 m の合成数の並びの最大数

これも何を言っているのか全然わからない。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/07/13 16:03

「ある数 m の合成数の並び」とはどのように定義されていて, その「最大値」とは何で, そしてそこからどうして

ある数 m において、m から( m + ( √m * 2 - 1 )) に素数が存在する
といえるのか.

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/07/13 14:52

>>それまでの素数で埋まる合成数

埋まるとは？曖昧過ぎて意味不明です。
P₅=11を例にとるとどういう意味なんでしょうか？？