素数（合成数の並びの最大数）について

エラトステネスの篩を考える。
ある素数 Pn（ n番目の素数）までを考えたとき、それまでの素数で埋まる合成数の並びの最大数は、素数が無限に存在することから ( Pn * 2 - 1 ) が最大となる。

次に有名な素数判定の、平方根までを考えれば良いということから、ある数 m の合成数の並びの最大数は、その平方根 √m から ( √m * 2 - 1 ) が最大となる。
このため、ある数 m において、m から( m + ( √m * 2 - 1 )) に素数が存在すると言える。

（あるいは 素数 Pk（ k番目の素数）から( Pk + ( √Pk * 2 - 1 )) に素数が存在すると言える。）

数学に詳しい人からみれば、どこがおかしいでしょうか。あるいは正しいでしょうか。
これが正しいのならば、ルジャンドル予想も解けたことになるのですが・・

質問者からの補足コメント

• 

  『合成数の並びの数』というのは、具体的には 23 と 29 の間が 5 ということです。
  エラトステネスの篩のような考えをしていただければ。
  
  『( Pn * 2 - 1 ) が最大となる。』は『最大でも( Pn * 2 - 1 ) となる。』と書くべきでした。

    補足日時：2024/07/15 14:22

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/07/13 14:52

>>それまでの素数で埋まる合成数

埋まるとは？曖昧過ぎて意味不明です。
P₅=11を例にとるとどういう意味なんでしょうか？？