指数関数の問題です

指数関数の問題です。

解法・解説よろしくお願いします


実数xに対して、ｔ＝２＾x＋２＾（-x）、ｙ＝４＾x－６・２＾x－６・２＾（-x）＋４＾（-x）とおく。

（１）xが実数全体を動くとき、ｔの最小値を求めよ。
（２）ｙをｔの式で表せ。
（３）xが実数全体を動くとき、ｙの最小値を求めよ。
（４）aを実数とするとき、ｙ＝aとなるようなxの個数を求めよ。

No.1 回答者： tenti1990 回答日時： 2009/07/20 22:02

（1）相加相乗平均で終了

（2）y=4^x+4^(-x)+6{2^x+2^(-x)}として
　　　4^x+4^(-x)をt^2を使ってあらわせばよいです。
（3）y=f(t)となりtの範囲がすでに出ているので
　　　普通の二次関数の問題です。
（4）y=f(t)のグラフを書き、y=aとなるtの個数を調べ、
　　　そのtに対応するxの個数を調べる。
　　　aの値による場合分けですね

解答書くと長いのですべて文章で書きましたがすごくわかりにくいですね…
まあやってみてください
それと最近数学やってないので間違ってたらごめんなさい

No.2 回答者： takayuki_kato 回答日時： 2009/07/20 22:04

　暗算でやっているので計算ミス等あるかもしれませんが，方針は大体あっているはずです。

（１）
２＾x≧０，２＾（-x）≧０より

相加平均≧相乗平均

が成立する。したがって，

ｔ＝２＾x＋２＾（-x）≧２√２＾x×２＾（-x）＝２　つまり t≧2

（２）
４＾x＋４＾（-x）＝｛２＾x＋２＾（-x）｝^2 －２＝t^2 －２

したがって，

y=t^2 －２-6t
y=t^2 -6t-2

（３）
y=(t-3)^2 -11

（１）より t≧２　なので，最小値は y=-11（ t=3 のとき）

（４）
t=2 のとき，y=2^2 -6×2-2=-10
(1)　 a< -11 のとき，０個
(2)　 a= -11 のとき，１個
(3)　-11<a≦-10 のとき，２個
(4)　-10<a　　　のとき，１個

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/07/20 22:08

2＾x＝kとすると、k＞0.

ｔ＝k＋1/k。ｙ＝k＾2-6k-6/k＋1/k＾2＝（k＋1/k）＾2-6（k＋1/k）-2＝t＾2-6t-2　‥‥(1)
k＞0より、相加平均・相乗平均から、ｔ＝k＋1/k≧2.　‥‥(2)　等号は　k＝1/kつまり、k＝1の時。
ｙ＝t＾2-6t-2＝（t-3）＾2-11　をｔ≧2の範囲で、最小値を考えると、t＝3　で最小。

ｙ＝t＾2-6t-2＝（t-3）＾2-7＝a　をｔ≧2の範囲でグラフを書いて、ｙ＝t＾2-6t-2＝（t-3）＾2-7とｙ＝a　（横軸に平行な直線）との交点の数を求める。

実際の計算は、自分でやって。

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/07/20 22:35

#2について若干の補足

(4)について、示されているのはy=aとなる"t"の個数です。
tとxは1対1ではありません。
一つのtに対してxが複数の値を持つ場合があります。(というよりも特定のtを除いて複数個存在する)
t=b　という解があれば、
2^x+2^(-x)=b
2^x=αとおくと2^(-x)=1/α　であるから
α+1/α=b
α^2-bα+1=0
となります。xとαは1対1となりますので上の2次方程式のα>0となる解の個数がt=bとなるxの個数ということになります。