同次多項式について

同次多項式における定理、
　　同次多項式ｆ(x,y,z)の因子は、また同次多項式である
の証明をわかりやすくおしえてもらいたいのですが・・・
　　よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： kannyu 回答日時： 2003/03/13 00:10

定理かどうかは知りませんが、簡単に証明できますよ。

一般的に次のように言い換えて証明します。

「体K上の同次多項式 f(x_1,・・・,x_n) の因子は、
また体K上の同次多項式である」

質問については n=3で係数が整数（有理数）の場合であるため
上記証明に包含されます。
とりあえず、環、整域、体とか言う言葉を知っていますよね？
知らない場合はわかりやすくないので（＾＾A
イメージだけつかんでください。

(proof)
背理法による：

f(x_1,・・・,x_n) が K上既約多項式ならば、
因子は定数か自身の定数倍であるため明らか。
したがってK上可約としてよい。

このときfの同次でない因子をgの存在を仮定する。
fは可約より
f(x_1,・・・,x_n) = g(x_1,・・・,x_n)q(x_1,・・・,x_n)
とあらわせる。（剰余定理）
ここで
gの最大項の次数をK,最小項の次数をk
qの最大項の次数をL,最小項の次数をl
とすると、右辺の次数は最大L+K,最小l+kであるが
gは同次でないのでL+K != l+k
これはfが同次であることに反する。

※同次多項式とは、各項の次数がすべて等しい多項式である。
例 f(x,y) = x^2 + 7xy + y^2（２次で同次）
f(x,y,z) = x^3 + 3xyz + y^3 + x^2y （３次で同次）
f(x,y) = x^2 + y+ 3 （同次でない）

※因子とは、整数でいう約数。体（整域）上で定義される。
※既約多項式とは、整数でいう素数。体（整域）上で定義される。

No.4 回答者： mmky 回答日時： 2003/03/13 19:55

#1のmmkyです。

＃３のkannyuさんの正しい回答がありますので、＃１は間違いとして忘れてくださいね。
お詫びと追伸まで

No.2 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/03/12 12:27

２つの因数に分解できたとします。

片方の因数で最高次をｋ，最低次をｌ
もう一方をｍ，ｎとすると展開式は
最高次がｋ＋ｍ，最低次がｌ＋ｎ
ですから同次多項式でないことは明らか。

No.1 回答者： mmky 回答日時： 2003/03/12 10:43

参考程度に

同次多項式は、「同じ次数をもつ」と「多項式」という二つの意味を満足するものですね。
例えば、二つの意味を満足するものとして、次数2の多項式を考えます。
ｆ(x,y,z)=(x+a)＾2+(y+b)＾2+(z+c)＾2=0
と置きますと、
ｆ(x,y,z)=(x＾2+y＾2+z＾2)+(2ax+2by+2cz)+(a＾2+b＾2+c＾2)=0
因子：
(x＾2+y＾2+z＾2)
(2ax+2by+2cz)
は同じ次数（2次及び1次）をもつ多項式ですね。
ということかな。