
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
いや、あなたのほうが正しい。
おそらく、テキストのミスプリでしょう。
「固有多項式」の定義を φ(t) = det(A-tE) にしているんですね。
φ(t) = det(tE-A) にする流儀もあって、そのほうが何かと便利なんですが...
ともあれ、出題に従って φ(t) = det(A-tE) 流をとるとして、
(-1)^n φ(t) = (-1)^n det(A-tE) = det(tE-A) です。 ←[*]
det(tE-A) は A の固有値を根にもつモニック(最大次の係数が1)な多項式なので、
TrA が A の固有値の和であることを知って入れば、根と係数の関係から
det(tE-A) = t^n - (TrA)t^(n-1) + ... であることが判ります。
これを [*] へ代入すれば、
φ(t) = (-1)^n t^n - (-1)^n (TrA)t^(n-1) + ...
= (-1)^n t^n + (-1)^(n-1) (TrA)t^(n-1) + ...
ですね。
No.1
- 回答日時:
例えば
n=2の場合
A
=
(a,b)
(c,d)
φ(t)
=
|A-tE|
=
|a-t,b|
|c,d-t|
=
(a-t)(d-t)-bc
=
t^2-(a+d)t+ad-bc
=
t^2-(trA)t+|A|
だから
私も
(-1)^(n-1)
だと思います
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