対称行列の固有値

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB% …
で、エルミート行列の固有値は実数となると書いてあったので、まずは実対称行列の固有値について、これが言えるかどうかを調べてみようと証明を試みたのですが、実対称行列の固有値でさえうまく証明できそうにありません。
どなたかお知恵を貸していただけると幸いです。宜しくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/08/11 20:58

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5198129.html
の A No.1 が全てでしょう。

あそこから、
エルミート行列のジョルダン標準形はエルミートであることが解る。
エルミートなジョルダン標準形って、実対角行列しかないよね。

この回答へのお礼

そういえば、エルミート行列のジョルダン標準形は実対角行列しかないですね＾＾；
こちらの質問は、もう一つの質問に統一ということになるので、こちらは閉じますね。

お礼日時：2009/08/11 22:45

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/08/11 11:58

複素ベクトル x, y の「内積」を

(x, y) = x^t conj y
(x^t は x の転置, conj y は y の複素共役)
と定義する. 定義から
(x, y) = conj (y, x), (ax, y) = a(x, y), (x, ay) = conj a (x, y)
であることを示す.

この回答へのお礼

x,yがn次元ベクトルとして、x,yそれぞれのk番目の要素をx_k,y_kとおくと、
x_k conj y_k=conj ((conj x_k)*y_k)
よって、
(x, y) = conj (y, x)

Σ[k=1:n]a*x_k*(conj y_k)=a*Σ[k=1:n]x_k*(conj y_k)
よって、
(ax, y) = a(x, y)

Σ[k=1:n]x_k*(conj a*y_k)=(conj a)*Σ[k=1:n]x_k*(conj y_k)
よって、
(x, ay) = (conj a)(x, y)

とまあ、示してみはしたのですが、これがどの様に固有値の証明に関係してくるのでしょうか？

お礼日時：2009/08/11 19:12