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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
penichiさん、こんばんは。
専門家ではないですが参考までにどうぞ。連立方程式
ax+by+cz=d
ex+fy+gz=h
ix+jy+kz=l
は、AX=B で表されますね。ここで、
行列A
a b c
e f g
h i j
列ベクトルX
x
y
z
列ベクトルB
d
h
l
です。逆行列A^-1を求めて、X=(A^-1)Bとする方法もありますが、3元となると複雑です。
あるいは、ROW REDUCTION(行の還元)を試みる方法がありますよ、ということですね。これは、連立方程式の係数成分のみ取り出して、
(縦線がうまくそろいませんでした)
a b c │ d
e f g │ h
h i j │ l
と記しした後、
1 0 0 │ d'
0 1 0 │ h'
0 0 1 │ l'
と単位行列Eに還元していきます。なぜこんなことをするかというと、この記法の意味が、
1*x+0*y+0*z=d'
0*x+1*y+0*z=h'
0*x+0*y+1*z=l'
ということで、連立方程式の解を表すからです。
それでは例題をやってみましょう。
eg)
1 1 1 │ 2
0 -2 -1 │ -6
0 -2 0 │ -1
R2/(-2)⇒R2 (行2を-2で割ったものを新たな行2とする)
1 1 1 │ 2
0 1 1/2 │ 3
0 -2 0 │ -1
2*R1+R3⇒R3 (行1を2倍して行3に足したもののを新たな行3とする)
1 1 1 │ 2
0 1 1/2│ 3
0 0 2 │ 3
R3/2⇒R2 (行3を2で割ったものを新たな行3とする)
1 1 1 │ 2
0 1 1/2│ 3
0 0 1 │ 3/2
これは、
1*x+1*y+ 1*z = 2
0*x+1*y+(1/2)*z = 3
0*x+0*y+ 1*z = 3/2
ということで、下から代入していき、
z = 3/2
y = 3-z/2 = 3-3/4 = 9/4
x = 2-y-z = 2-9/4-3/2 = -7/4
ともとめられますが、より機械的に加減法的方法を続けて、行列Aを単位行列Eに還元していくと、
1 1 1 │ 2
0 1 1/2│ 3
0 0 1 │ 3/2
から、
R2+(-1/2)*R3⇒R2 (行3を-1/2倍して行2に足したものを新たな行2とする)
1 1 1 │ 2
0 1 0 │ 9/4
0 0 1 │ 3/2
R1-R3⇒R1 (行1から行3を引いて新たな行1とする)
1 1 0 │ 1/2
0 1 0 │ 9/4
0 0 1 │ 3/2
と、このように還元していきますすと最後に、
R1-R2⇒R1 (行1から行2を引いて新たな行1とする)
1 0 0 │ -7/4
0 1 0 │ 9/4
0 0 1 │ 3/2
となり、連立方程式の解、(x,y,z)=(-7/4,9/4,3/2) が求められました。
これは、EX=B'、つまりX=B'ということを表していますね。
結局、記法上の違いはあるけれど、やっていることは、中学校で学ぶ連立方程式の加減法に似たようなもので、より機械的な方法(アルゴリズムが確立した方法)でやろうということです。この例題では使いませんでしたが,行の交換という操作もあるので気をつけてください。
参考サイト、
http://www.mathportal.org/algebra/solving-system …
ガウスの消去法
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6% …
参考動画 英語で申しわけないですが、なんとなく分かると思います。
基本的(2×2行列)1'40"あたりから、(3×3行列)5'40"あたりから。
Row Reducing a Matrix - Systems of Linear Equations - Part 1
続き
Row Reducing a Matrix - Systems of Linear Equations - Part 2
https://www.youtube.com/watch?v=cPIcBbh6qoo
別のもの
https://www.youtube.com/watch?v=0-feBnP7q_k
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