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No.3
- 回答日時:
二項定理の公式を確認します。
(a+b)^n=nC₀ a^n b^0 + nC₁ a^(n-1) b^1 + nC₂ a^(n-2) b^2 +……+ nCn a^0 b^n
例えば、n=3のときは、
(a+b)³=₃C₀ a³ b⁰ + ₃C₁ a² b¹ + ₃C₂ a¹ b² + ₃C₁ a⁰ b³
= a³ + 3 a² b + 3 a b² + b³
3乗の展開公式ができあがります。
では、今回の問題に二項定理を利用します。(公式で、a=1 , b=x とします)
(1+x)^n=nC₀ 1^n x^0 + nC₁ 1^(n-1) x^1 + nC₂ 1^(n-2) x^2 +……+ nCn 1^0 x^n
1は何乗しても1です。また、x⁰=1 です。したがって、
(1+x)ⁿ= nC₀ + nC₁ x + nC₂ x² +……+ nCn xⁿ
答に記載されていた式ができあがりました。
この等式で、x=2とすると、
(1+2)ⁿ= nC₀ + nC₁ 2 + nC₂ 2² +……+ nCn 2ⁿ
3ⁿ= nC₀ + 2 nC₁ + 2² nC₂ +……+ 2ⁿ nCn
問題の等式が導かれました。
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