部分分数分解

部分分数分解の際に分母が2次式の場合は分子がBs＋Cになると習ったのですが何故ですか。Bとするとおかしくなることは分かります。
例)1/(s(s^2＋1))=A/s ＋ Bs＋C/s^2＋1

No.1 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2020/06/30 10:53

分母が2次式の場合、分子は2次式未満、つまり、「1次式」又は「定数」の両方の可能性があるから。

両方の可能性を実現できるように、1次式で表しておく（結果的に、1次の係数が0になることもある）。
だから、この場合はBs+Cとおいて計算する。結果として、B=-1、C=0になるけど。

もちろん、もし分母が3次式の場合、分子は3次式未満、つまり、「2次式」又は「1次式」又は「定数」の全ての可能性があるから、その全ての可能性を実現手斬るように、2次式で表しておく。
（以下、分母が4次式でも5次式でも同じこと）

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/30 21:17

一般に2次以下の多項式 p(s) について、

p(s)/(s(s^2+1)) = A/s + (なんか)/(s^2+1)
という分解を考えてみます。

部分分数分解の A は、
p(s)/(s(s^2+1)) - A/s = { p(s) - A(s^2+1) }/s
の右辺が s で約分できるようなものを選ぶのでした。

その右辺分子を sq(s) と置くと、q(s) は多項式であり、
p(s)/(s(s^2+1)) = A/s + q(s)/(s^2+1) と書けます。

この q(s) は何次多項式でしょうか？
両辺 s→+∞ の極限をとると、p(s) が2次以下なので
0 = 0 + lim[s→+∞] q(s)/(s^2+1) です。
よって、q(s) は2次未満であることが判り、
高々１次の多項式として一般に q(s) = Bs+C と置けます。

一般の p(s) については、
B = 0 や C = 0 になる場合もあり得ます。
今回の p(s) = 1(定数式) のときには、
たまたま B = 0 ではないのですが。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/06/30 11:36

右辺を通分します

A/s ＋ Bs＋C/s^2＋1=A(s^2＋1)/(s(s^2＋1)) +s(Bs+C)/(s(s^2＋1))
通分すると元の式の左辺と右辺で分母が等しくなります（そのようになるように分解しているのですから当然の事！）

このとき　もし、Bs＋C/s^2＋1の分子を　Ds^2+Bs+Cと置いてしまうと　
通分後の右辺の分子はs^3の項が出現してしまい
左辺分子と見比べると明らかにおかしいことが分かります
このことから　Bs＋C/s^2＋1の分子　はBs+Cのように1次　または　0次でないといけないということになります

今度は　Bs＋C/s^2＋1 でB=0と決めつけたしまうことにします
つまり　C/s^2+1と置いてしまうという事です（質問に沿って言うならば　B/s^2+1とおく場合です）
すると、右辺通分後
s(Bs+C)/(s(s^2＋1)に　B=0を代入で
A/s ＋ Bs＋C/s^2＋1=A(s^2＋1)/(s(s^2＋1)) +s(Bs+C)/(s(s^2＋1))=A(s^2＋1)/(s(s^2＋1)) +sC/(s(s^2＋1))
となりますよね
しかしこれでは　分子のAs^2が消えずに残ってしましますから　元の左辺分子の次数（0次）と合わなくなってしまいます

ゆえにBs＋C/s^2＋1の分子について　B=0と初めから決めつけるのは誤りで
●/s^2＋1　の分子は1次式で表しておく必要があるのです