すべての実数を整列させる方法を考えました。教科書が書き換わりますか？

すべての実数を整列させる方法を考えました。教科書が書き換わりますか？

まず

1→0.1
2→0.2
・
・
・
9→0.9
10→0.01
11→0.11
12→0.21
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・
・
99→0.99
100→0.001
101→0.101
102→0.201
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9999→0.9999
10000→0.00001
10001→0.10001
10002→0.20001
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…835218→0.812538…
…835219→0.912538…
…835220→0.022538…
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というように、すべての自然数と、0と1の間のすべての実数を、1対1に対応させる。右側が「0と1の間のすべての実数」であることに異論はあるだろうか。この列に存在しない(0と1の間の)実数は存在するのか。この列は、小数第一位の数字が1,2…9,0,1…9,0,1…となっているので、だいたいその値で推移しながら、実数が、0と1の間を無限に埋めていく形になっている。

で、すべての実数を整列させると

0,0.1,0.2…0.9,0.01,0.11,0.21…
1,1.1,1.2…1.9,1.01,1.11,1.21…
2,2.1,2.2…2.9,2.01,2.11,2.21…
・
・
・

(0),-0.1,-0.2…-0.9,-0.01,-0.11…
-1,-1.1,-1.2…-1.9,-1.01,-1.11…
-2,-2.1,-2.2…-2.9,-2.01,-2.11…
・
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・

となる。この表に例えばπは存在しているだろうか。小数点以上が3の列において、「3.14」は42番目に、「3.141592」は295142番目に、「3.14159265358979」は97985356295142番目に出てくる。もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとして、「3.14…8」までか。それとも「3.14…8…5」までか。それとも「3.14…8…5…9」までか。それとも「3.14…8…5…9…2」までか。無限に並べたのに「ここまで」などということがあるだろうか。

で、すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させると、

1→0
2→0.1
3→-0.1
4→1
5→-1
6→2
7→-2
8→1.1
9→-1.1
10→0.2
11→-0.2
12→0.3
13→-0.3
14→1.2
15→-1.2
16→2.1
17→-2.1
18→3
19→-3
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・

のようになるが、それとも自然数は途中で尽きてしまうだろうか。

有理数と同じわけに↓はいかないのか。

1/1,2/1,3/1…
1/2,2/2,3/2…
1/3,2/3,3/3…
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1→1/1
2→1/2
3→2/1
4→3/1
5→2/2
6→1/3
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https://note.com/abikonobuhiro666/n/n22a8edbc3936

質問者からの補足コメント

• 

  自然数「9…999」の「…」にあなたができると思うだけ9を並べてください。その自然数までの自然数の個数は「9…999個」で有限の値になります。自然数はそのままその自然数までの自然数の個数を表しています。なので自然数が有限桁のものしかなければ自然数の個数は有限になります。有限桁の自然数までの自然数の個数が無限になることはありません。
  
  どの桁の9を見ても必ずその次の桁に9があり「最大の桁の9」を見ることができない「…9…9…9…9…9…999」という無限桁の自然数までの自然数の個数なら「…9…9…9…9…9…999個」という無限の値になり、このような自然数が存在する場合だけ「自然数の個数は無限」と言うことができます。

    補足日時：2023/06/02 13:38

• 

  この列にπあるいは無限小数は存在しないとのことですが、「どこまで」が言えないことは認めるのですよね。私も言えません。私は、「どこまで」とは言えないすなわち限りがないので無限小数もπも存在する、「限りがないので限りがない」と当然のことを言っています。ところがあなた方は「どこまで」とは言えないすなわち限りはないが無限小数もπも存在しない、「限りはないけど限りがある」とおかしなことを言っています。

    補足日時：2023/06/02 13:46

• 

  No.18さんが「『すべての実数を整列させる』こと（これができるのはよく知られている）」とおっしゃっているのですが、本当ですか。サイトがあれば貼っていただけるとありがたいです。

    補足日時：2023/06/02 14:28

• 

  「今野、そこにπはあるんか?」
  
  この表に例えばπは存在しているだろうか。小数点以上が3の列において、「3.14」は42番目に、「3.141592」は295142番目に、「3.14159265358979」は97985356295142番目に出てくる。もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとして、「3.14…8」までか。それとも「3.14…8…5」までか。それとも「3.14…8…5…9」までか。それとも「3.14…8…5…9…2」までか。という単純明快な質問にはまだ誰も答えていない。「ここまで」と言ってくれれば終わる話なのだが。「『どこまで』とは言えないけど有限と言ったら有限なんだいっ！！！」と駄々をこねられても…これはいよいよ教科書に載るか？

    補足日時：2023/06/03 17:35

• 

  無限桁の自然数が存在すること、あるいは、3の列のπに対応する自然数について、「一の桁が2、十の桁が4、百の桁が1…」と無限に続けることができることを証明する。
  
  簡単な証明
  
  1.「すべての自然数は有限桁の自然数＝すべての自然数はある桁以降無限に0が並ぶ」と仮定する。
  
  2.0は他の数字に置き換えることができるので、仮定は間違い。

    補足日時：2023/06/04 19:22

• 

  詳しい説明
  
  1.n桁には必ず次のn+1桁が存在するので、桁は無限に存在する。
  
  2.通常の自然数は、ある桁以降の桁が空白なだけで、桁そのものは無限に持っており、自然数を無限に大きくできるのは(あるいは、自然数はその自然数までの自然数の個数を表すから「自然数が無限に存在するのは」と言い換えてもいい)、その無限の空白の桁に数字を入れることができるからだ。すべての自然数は無限桁であり、そのうちの、ある桁以降無限に0が並ぶものを有限桁の自然数あるいは単に自然数と呼んでいるに過ぎず、真に存在しないのは有限桁の自然数の方なのである。
  
  3.「すべての自然数は有限桁＝すべての自然数はある桁以降の桁が空白あるいはある桁以降無限に0が並ぶ」は間違いである。なぜなら、空白には数字を入れることができるし、0は他の数字に置き換えることができるからである。

    補足日時：2023/06/04 19:25

• 

  4.自然数を「有限桁の自然数」に限定するのは、定義であり、公理とは程遠く、自然数の本質を、損ない、見誤らせることになり、現に数学に携わるほとんどすべての者が見誤っている。
  
  5.「有限桁の自然数」の方が縮小であり、「無限桁の自然数」は、屁理屈でも拡張でも拡大解釈でもなく、これこそが自然数の本質であり公理なのである。
  
  6.ちなみに、計算や大小を比べることができるのはいわゆる「有限桁の自然数」だけであり、自然数の場合は、「…0001」に1を足した「…0002」といった背景がわからなければ「…0001」と「…0002」の大きさを比べることはできない。それが自然数の本来の性質である。

    補足日時：2023/06/04 19:28

• 

  訂正
  
  6.ちなみに、計算や大小を比べることができるのはいわゆる「有限桁の自然数」だけであり、自然数は、その自然数までの個数が無限であるため、二つの自然数のそれぞれの自然数までの自然数どうしは全単射が可能で、たとえ「…0001」に1を足した「…0002」という背景があっても、何らかの解決策がない限り両者の大きさは同じになる。

    補足日時：2023/06/05 14:44

• 

  また、「…999」のように、9を無限に並べることはできても、すべての桁に9を並べることはできない。これは、実数を無限に並べることはできてもすべての実数を並べることはできないというのに似ている。「…999」は、「最大の桁の9」を見ることはできないという状態であり、すべての桁に9が並んでいるわけではない。これに1を足せば「…000」になり、これは同じく「最大の桁の1」を見ることはできない状態である。これに無限に1を足していけば再び「…999」になるが、前の「…999」も後の「…999」も「…000」もすべて同じ大きさになる。

    補足日時：2023/06/05 14:45

• 

  「…333」と、次の桁に3を入れまたその次の桁に3を入れ…というように、あなた方の言う自然数の範囲で、可能な限り3を入れてできた自然数はどのようなものになりますか。「3…333」ですか。次の桁が空いてますよ。
  
  この表にπもそれに対応する自然数も存在しない、限りなくそれに近づくがどちらも存在しないということであれば、自然数の個数についても同じことが言えるのではないですか。自然数の個数は限りなく無限に近づきはしますが決して無限にはなりませんよ。あなた方の自然数に対する認識が正しいなら自然数の個数は有限になります。
  
  「問答はしまいじゃ」by山本元柳斎重國。次の質問でまたお会いしましょう。

    補足日時：2023/06/06 10:13

No.3 回答者： yoshimasa2000 回答日時： 2023/06/01 18:26

その考えでは無理数を扱えません。

πはどこに整列されるのですか？

πのひとつ前とひとつ後を特定してみてください。

整列される番号を特定できないから無理数なのです。

実数は相変わらず不加算無限です。

この回答へのお礼

＞πのひとつ前とひとつ後を特定してみてください。

ひとつ前は3.04159265358979…
ひとつ後は3.24159265358979…
です。

「この列は、小数第一位の数字が1,2…9,0,1…9,0,1…となっているので、だいたいその値で推移しながら、実数が、0と1の間を無限に埋めていく形になっている」と書いてある通りです。

お礼日時：2023/06/01 21:05

No.2 回答者： mimon01 回答日時： 2023/06/01 18:25

バカバカしい。

それは、すべての実数ではなく、すべての有理数です。
それのもっとエレガントな方法は、中学校で習います。
分数の分母と分子を縦横に並べて、1/1から順次番号を振っていくやり方を知らないんですか?

この回答へのお礼

>分数の分母と分子を縦横に並べて、1/1から順次番号を振っていくやり方を知らないんですか?

本文に書いてありますが。よく読みましょう。

「すべての有理数です」ということは「0.121212…」のような循環小数があることは認めるわけですね。無理数が存在しない理由は何ですか。まさか非循環だからとか言わないですよね。

お礼日時：2023/06/01 21:00

No.1 回答者： banzaiA 回答日時： 2023/06/01 18:16

で、メリットは如何？