すべての実数を整列させる方法を考えました。教科書が書き換わりますか？

すべての実数を整列させる方法を考えました。教科書が書き換わりますか？

まず

1→0.1
2→0.2
・
・
・
9→0.9
10→0.01
11→0.11
12→0.21
・
・
・
99→0.99
100→0.001
101→0.101
102→0.201
・
・
・
9999→0.9999
10000→0.00001
10001→0.10001
10002→0.20001
・
・
・
…835218→0.812538…
…835219→0.912538…
…835220→0.022538…
・
・
・

というように、すべての自然数と、0と1の間のすべての実数を、1対1に対応させる。右側が「0と1の間のすべての実数」であることに異論はあるだろうか。この列に存在しない(0と1の間の)実数は存在するのか。この列は、小数第一位の数字が1,2…9,0,1…9,0,1…となっているので、だいたいその値で推移しながら、実数が、0と1の間を無限に埋めていく形になっている。

で、すべての実数を整列させると

0,0.1,0.2…0.9,0.01,0.11,0.21…
1,1.1,1.2…1.9,1.01,1.11,1.21…
2,2.1,2.2…2.9,2.01,2.11,2.21…
・
・
・

(0),-0.1,-0.2…-0.9,-0.01,-0.11…
-1,-1.1,-1.2…-1.9,-1.01,-1.11…
-2,-2.1,-2.2…-2.9,-2.01,-2.11…
・
・
・

となる。この表に例えばπは存在しているだろうか。小数点以上が3の列において、「3.14」は42番目に、「3.141592」は295142番目に、「3.14159265358979」は97985356295142番目に出てくる。もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとして、「3.14…8」までか。それとも「3.14…8…5」までか。それとも「3.14…8…5…9」までか。それとも「3.14…8…5…9…2」までか。無限に並べたのに「ここまで」などということがあるだろうか。

で、すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させると、

1→0
2→0.1
3→-0.1
4→1
5→-1
6→2
7→-2
8→1.1
9→-1.1
10→0.2
11→-0.2
12→0.3
13→-0.3
14→1.2
15→-1.2
16→2.1
17→-2.1
18→3
19→-3
・
・
・

のようになるが、それとも自然数は途中で尽きてしまうだろうか。

有理数と同じわけに↓はいかないのか。

1/1,2/1,3/1…
1/2,2/2,3/2…
1/3,2/3,3/3…
・
・
・

1→1/1
2→1/2
3→2/1
4→3/1
5→2/2
6→1/3
・
・
・

https://note.com/abikonobuhiro666/n/n22a8edbc3936

質問者からの補足コメント

• 

  自然数「9…999」の「…」にあなたができると思うだけ9を並べてください。その自然数までの自然数の個数は「9…999個」で有限の値になります。自然数はそのままその自然数までの自然数の個数を表しています。なので自然数が有限桁のものしかなければ自然数の個数は有限になります。有限桁の自然数までの自然数の個数が無限になることはありません。
  
  どの桁の9を見ても必ずその次の桁に9があり「最大の桁の9」を見ることができない「…9…9…9…9…9…999」という無限桁の自然数までの自然数の個数なら「…9…9…9…9…9…999個」という無限の値になり、このような自然数が存在する場合だけ「自然数の個数は無限」と言うことができます。

    補足日時：2023/06/02 13:38

• 

  この列にπあるいは無限小数は存在しないとのことですが、「どこまで」が言えないことは認めるのですよね。私も言えません。私は、「どこまで」とは言えないすなわち限りがないので無限小数もπも存在する、「限りがないので限りがない」と当然のことを言っています。ところがあなた方は「どこまで」とは言えないすなわち限りはないが無限小数もπも存在しない、「限りはないけど限りがある」とおかしなことを言っています。

    補足日時：2023/06/02 13:46

• 

  No.18さんが「『すべての実数を整列させる』こと（これができるのはよく知られている）」とおっしゃっているのですが、本当ですか。サイトがあれば貼っていただけるとありがたいです。

    補足日時：2023/06/02 14:28

• 

  「今野、そこにπはあるんか?」
  
  この表に例えばπは存在しているだろうか。小数点以上が3の列において、「3.14」は42番目に、「3.141592」は295142番目に、「3.14159265358979」は97985356295142番目に出てくる。もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとして、「3.14…8」までか。それとも「3.14…8…5」までか。それとも「3.14…8…5…9」までか。それとも「3.14…8…5…9…2」までか。という単純明快な質問にはまだ誰も答えていない。「ここまで」と言ってくれれば終わる話なのだが。「『どこまで』とは言えないけど有限と言ったら有限なんだいっ！！！」と駄々をこねられても…これはいよいよ教科書に載るか？

    補足日時：2023/06/03 17:35

• 

  無限桁の自然数が存在すること、あるいは、3の列のπに対応する自然数について、「一の桁が2、十の桁が4、百の桁が1…」と無限に続けることができることを証明する。
  
  簡単な証明
  
  1.「すべての自然数は有限桁の自然数＝すべての自然数はある桁以降無限に0が並ぶ」と仮定する。
  
  2.0は他の数字に置き換えることができるので、仮定は間違い。

    補足日時：2023/06/04 19:22

• 

  詳しい説明
  
  1.n桁には必ず次のn+1桁が存在するので、桁は無限に存在する。
  
  2.通常の自然数は、ある桁以降の桁が空白なだけで、桁そのものは無限に持っており、自然数を無限に大きくできるのは(あるいは、自然数はその自然数までの自然数の個数を表すから「自然数が無限に存在するのは」と言い換えてもいい)、その無限の空白の桁に数字を入れることができるからだ。すべての自然数は無限桁であり、そのうちの、ある桁以降無限に0が並ぶものを有限桁の自然数あるいは単に自然数と呼んでいるに過ぎず、真に存在しないのは有限桁の自然数の方なのである。
  
  3.「すべての自然数は有限桁＝すべての自然数はある桁以降の桁が空白あるいはある桁以降無限に0が並ぶ」は間違いである。なぜなら、空白には数字を入れることができるし、0は他の数字に置き換えることができるからである。

    補足日時：2023/06/04 19:25

• 

  4.自然数を「有限桁の自然数」に限定するのは、定義であり、公理とは程遠く、自然数の本質を、損ない、見誤らせることになり、現に数学に携わるほとんどすべての者が見誤っている。
  
  5.「有限桁の自然数」の方が縮小であり、「無限桁の自然数」は、屁理屈でも拡張でも拡大解釈でもなく、これこそが自然数の本質であり公理なのである。
  
  6.ちなみに、計算や大小を比べることができるのはいわゆる「有限桁の自然数」だけであり、自然数の場合は、「…0001」に1を足した「…0002」といった背景がわからなければ「…0001」と「…0002」の大きさを比べることはできない。それが自然数の本来の性質である。

    補足日時：2023/06/04 19:28

• 

  訂正
  
  6.ちなみに、計算や大小を比べることができるのはいわゆる「有限桁の自然数」だけであり、自然数は、その自然数までの個数が無限であるため、二つの自然数のそれぞれの自然数までの自然数どうしは全単射が可能で、たとえ「…0001」に1を足した「…0002」という背景があっても、何らかの解決策がない限り両者の大きさは同じになる。

    補足日時：2023/06/05 14:44

• 

  また、「…999」のように、9を無限に並べることはできても、すべての桁に9を並べることはできない。これは、実数を無限に並べることはできてもすべての実数を並べることはできないというのに似ている。「…999」は、「最大の桁の9」を見ることはできないという状態であり、すべての桁に9が並んでいるわけではない。これに1を足せば「…000」になり、これは同じく「最大の桁の1」を見ることはできない状態である。これに無限に1を足していけば再び「…999」になるが、前の「…999」も後の「…999」も「…000」もすべて同じ大きさになる。

    補足日時：2023/06/05 14:45

• 

  「…333」と、次の桁に3を入れまたその次の桁に3を入れ…というように、あなた方の言う自然数の範囲で、可能な限り3を入れてできた自然数はどのようなものになりますか。「3…333」ですか。次の桁が空いてますよ。
  
  この表にπもそれに対応する自然数も存在しない、限りなくそれに近づくがどちらも存在しないということであれば、自然数の個数についても同じことが言えるのではないですか。自然数の個数は限りなく無限に近づきはしますが決して無限にはなりませんよ。あなた方の自然数に対する認識が正しいなら自然数の個数は有限になります。
  
  「問答はしまいじゃ」by山本元柳斎重國。次の質問でまたお会いしましょう。

    補足日時：2023/06/06 10:13

No.39 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/03 22:15

「「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとし」たなら

3.14... と一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶものまで
が出てくるよね, 当然. そして, 例えば
「3.14... と (一無量大数の一無量大数乗*2) 個ぐらい数字が並ぶもの」
は出てこない.

たぶん, 誰もが同じことを疑問に思うんじゃないかなぁ, 「いったいこれのどこに疑問があるのか」と.

この回答へのお礼

すみません。ちょっと何を言っているのか理解できません。前半も後半もわからないです。おちょくりとかではなく本当にわからないです。

無限桁の自然数が存在すること、あるいは、3の列のπに対応する自然数について、「一の桁が2、十の桁が4、百の桁が1…」と無限に続けることができることを証明する。

簡単な証明

1.「すべての自然数は有限桁の自然数＝すべての自然数はある桁以降無限に0が並ぶ」と仮定する。

2.0は他の数字に置き換えることができるので、仮定は間違い。

詳しい説明

1.n桁には必ず次のn+1桁が存在するので、桁は無限に存在する。

2.通常の自然数は、ある桁以降の桁が空白なだけで、桁そのものは無限に持っており、自然数を無限に大きくできるのは(あるいは、自然数はその自然数までの自然数の個数を表すから「自然数が無限に存在するのは」と言い換えてもいい)、その無限の空白の桁に数字を入れることができるからだ。すべての自然数は無限桁であり、そのうちの、ある桁以降無限に0が並ぶものを有限桁の自然数あるいは単に自然数と呼んでいるに過ぎず、真に存在しないのは有限桁の自然数の方なのである。

3.「すべての自然数は有限桁＝すべての自然数はある桁以降の桁が空白あるいはある桁以降無限に0が並ぶ」は間違いである。なぜなら、空白には数字を入れることができるし、0は他の数字に置き換えることができるからである。

4.自然数を「有限桁の自然数」に限定するのは、定義であり、公理とは程遠く、自然数の本質を、損ない、見誤らせることになり、現に数学に携わるほとんどすべての者が見誤っている。

5.「有限桁の自然数」の方が縮小であり、「無限桁の自然数」は、屁理屈でも拡張でも拡大解釈でもなく、これこそが自然数の本質であり公理なのである。

6.ちなみに、計算や大小を比べることができるのはいわゆる「有限桁の自然数」だけであり、自然数の場合は、「…0001」に1を足した「…0002」といった背景がわからなければ「…0001」と「…0002」の大きさを比べることはできない。それが自然数の本来の性質である。

お礼日時：2023/06/04 19:13

No.38 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/03 21:45

＞ もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。

πを任意の有限桁で打ち切った有限小数は全て表にあるが、
無限桁のπは表にない。
要するに有限小数は表にあるが、無限小数は表にない。
そのことを、ペアノによる自然数の定義に基づいて示した回答者は
既にいたが、読まなかったのか、読んだが理解できなかったのか
どっちかね？

この回答へのお礼

無限桁の自然数が存在すること、あるいは、3の列のπに対応する自然数について、「一の桁が2、十の桁が4、百の桁が1…」と無限に続けることができることを証明する。

簡単な証明

1.「すべての自然数は有限桁の自然数＝すべての自然数はある桁以降無限に0が並ぶ」と仮定する。

2.0は他の数字に置き換えることができるので、仮定は間違い。

詳しい説明

1.n桁には必ず次のn+1桁が存在するので、桁は無限に存在する。

2.通常の自然数は、ある桁以降の桁が空白なだけで、桁そのものは無限に持っており、自然数を無限に大きくできるのは(あるいは、自然数はその自然数までの自然数の個数を表すから「自然数が無限に存在するのは」と言い換えてもいい)、その無限の空白の桁に数字を入れることができるからだ。すべての自然数は無限桁であり、そのうちの、ある桁以降無限に0が並ぶものを有限桁の自然数あるいは単に自然数と呼んでいるに過ぎず、真に存在しないのは有限桁の自然数の方なのである。

3.「すべての自然数は有限桁＝すべての自然数はある桁以降の桁が空白あるいはある桁以降無限に0が並ぶ」は間違いである。なぜなら、空白には数字を入れることができるし、0は他の数字に置き換えることができるからである。

4.自然数を「有限桁の自然数」に限定するのは、定義であり、公理とは程遠く、自然数の本質を、損ない、見誤らせることになり、現に数学に携わるほとんどすべての者が見誤っている。

5.「有限桁の自然数」の方が縮小であり、「無限桁の自然数」は、屁理屈でも拡張でも拡大解釈でもなく、これこそが自然数の本質であり公理なのである。

6.ちなみに、計算や大小を比べることができるのはいわゆる「有限桁の自然数」だけであり、自然数の場合は、「…0001」に1を足した「…0002」といった背景がわからなければ「…0001」と「…0002」の大きさを比べることはできない。それが自然数の本来の性質である。

お礼日時：2023/06/04 19:15

No.37 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/03 21:05

すべての桁が9である

「…9…9…9…9…9…999」
は自然数ではありません

「…9…9…9…9…9…999」
が自然数nだと仮定すると
ペアノの公理(2)
「
任意の自然数nに対して,
nより大きい
nの後者(n+1)が存在する
」
から

n=「…9…9…9…9…9…999」
の後者
n+1=「…9…9…9…9…9…999」+1
が存在しなければいけません
だけれども

すべての桁が9であるため
これ以上桁を増やすことができないので
n+1=「…9…9…9…9…9…999」+1
は存在しないから
「…9…9…9…9…9…999」
は自然数ではないから

無限桁の自然数は存在しない

この回答へのお礼

＞すべての桁が9であるため、これ以上桁を増やすことができないので

無限を理解されてないのだと思います。

無限桁の自然数が存在すること、あるいは、3の列のπに対応する自然数について、「一の桁が2、十の桁が4、百の桁が1…」と無限に続けることができることを証明する。

簡単な証明

1.「すべての自然数は有限桁の自然数＝すべての自然数はある桁以降無限に0が並ぶ」と仮定する。

2.0は他の数字に置き換えることができるので、仮定は間違い。

詳しい説明

1.n桁には必ず次のn+1桁が存在するので、桁は無限に存在する。

2.通常の自然数は、ある桁以降の桁が空白なだけで、桁そのものは無限に持っており、自然数を無限に大きくできるのは(あるいは、自然数はその自然数までの自然数の個数を表すから「自然数が無限に存在するのは」と言い換えてもいい)、その無限の空白の桁に数字を入れることができるからだ。すべての自然数は無限桁であり、そのうちの、ある桁以降無限に0が並ぶものを有限桁の自然数あるいは単に自然数と呼んでいるに過ぎず、真に存在しないのは有限桁の自然数の方なのである。

3.「すべての自然数は有限桁＝すべての自然数はある桁以降の桁が空白あるいはある桁以降無限に0が並ぶ」は間違いである。なぜなら、空白には数字を入れることができるし、0は他の数字に置き換えることができるからである。

4.自然数を「有限桁の自然数」に限定するのは、定義であり、公理とは程遠く、自然数の本質を、損ない、見誤らせることになり、現に数学に携わるほとんどすべての者が見誤っている。

5.「有限桁の自然数」の方が縮小であり、「無限桁の自然数」は、屁理屈でも拡張でも拡大解釈でもなく、これこそが自然数の本質であり公理なのである。

6.ちなみに、計算や大小を比べることができるのはいわゆる「有限桁の自然数」だけであり、自然数の場合は、「…0001」に1を足した「…0002」といった背景がわからなければ「…0001」と「…0002」の大きさを比べることはできない。それが自然数の本来の性質である。

お礼日時：2023/06/04 19:18

No.36 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/03 20:40

小数点以上が3の列において、

「3.14」は有限小数で42番目に、
「3.141592」は有限小数で295142番目に、
「3.14159265358979」は有限小数で97985356295142番目に出てくる。
πは無限小数だから出てこないから存在しない

「3.14…8」は有限小数
「3.14…8…5」は有限小数
「3.14…8…5…9」は有限小数
「3.14…8…5…9…2」は有限小数
でてくるのは

全て有限小数で

無限に、有限小数が出てくる
(有限小数が無限にある)
だけで

永遠に、無限小数πが出てくることはないから

πは存在しない

どうしても表にπが存在すると主張するなら
存在すると主張するあなたが
表の何番目にπが
存在することの証明をしなければいけません

この回答へのお礼

無限桁の自然数が存在すること、あるいは、3の列のπに対応する自然数について、「一の桁が2、十の桁が4、百の桁が1…」と無限に続けることができることを証明する。

簡単な証明

1.「すべての自然数は有限桁の自然数＝すべての自然数はある桁以降無限に0が並ぶ」と仮定する。

2.0は他の数字に置き換えることができるので、仮定は間違い。

詳しい説明

1.n桁には必ず次のn+1桁が存在するので、桁は無限に存在する。

2.通常の自然数は、ある桁以降の桁が空白なだけで、桁そのものは無限に持っており、自然数を無限に大きくできるのは(あるいは、自然数はその自然数までの自然数の個数を表すから「自然数が無限に存在するのは」と言い換えてもいい)、その無限の空白の桁に数字を入れることができるからだ。すべての自然数は無限桁であり、そのうちの、ある桁以降無限に0が並ぶものを有限桁の自然数あるいは単に自然数と呼んでいるに過ぎず、真に存在しないのは有限桁の自然数の方なのである。

3.「すべての自然数は有限桁＝すべての自然数はある桁以降の桁が空白あるいはある桁以降無限に0が並ぶ」は間違いである。なぜなら、空白には数字を入れることができるし、0は他の数字に置き換えることができるからである。

4.自然数を「有限桁の自然数」に限定するのは、定義であり、公理とは程遠く、自然数の本質を、損ない、見誤らせることになり、現に数学に携わるほとんどすべての者が見誤っている。

5.「有限桁の自然数」の方が縮小であり、「無限桁の自然数」は、屁理屈でも拡張でも拡大解釈でもなく、これこそが自然数の本質であり公理なのである。

6.ちなみに、計算や大小を比べることができるのはいわゆる「有限桁の自然数」だけであり、自然数の場合は、「…0001」に1を足した「…0002」といった背景がわからなければ「…0001」と「…0002」の大きさを比べることはできない。それが自然数の本来の性質である。

お礼日時：2023/06/04 19:19

No.35 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/03 08:34

←No.32

自然数をそうやって拡張するのはかまわないんだけど、
可算無限 ⇔ 自然数の集合と等濃度　とするときの
自然数を拡張してしまったら、可算無限の定義も拡張した
ことになってしまうのでね。

この回答へのお礼

この表に例えばπは存在しているだろうか。小数点以上が3の列において、「3.14」は42番目に、「3.141592」は295142番目に、「3.14159265358979」は97985356295142番目に出てくる。もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとして、「3.14…8」までか。それとも「3.14…8…5」までか。それとも「3.14…8…5…9」までか。それとも「3.14…8…5…9…2」までか。という単純明快な質問にはまだ誰も答えていない。「ここまで」と言ってくれれば終わる話なのだが。「『どこまで』とは言えないけど有限と言ったら有限なんだいっ！！！」と駄々をこねられても…これはいよいよ教科書に載るか？

お礼日時：2023/06/03 17:37

No.34 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/03 05:17

補足2023/06/02 13:38について

1つの自然数はその自然数までの自然数の(有限)個数を表しているけれども

全自然数の(無限)個数を表す自然数は存在しません
全自然数の(無限)個数を表す数は自然数ではなく
可算濃度(アレフ_0)または超限順序数です

自然数は有限小数なのです
有限桁のものを有限小数というのだから
有限小数は有限桁のものしかないけれども
有限小数の個数は無限にあるから

自然数が有限桁のものしかなければ自然数の個数は有限になるというのは間違いです

自然数は有限桁であるけれども
全自然数の個数は(自然数で表すことのできない)無限であるのです

この回答へのお礼

矛盾だらけ。

この表に例えばπは存在しているだろうか。小数点以上が3の列において、「3.14」は42番目に、「3.141592」は295142番目に、「3.14159265358979」は97985356295142番目に出てくる。もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとして、「3.14…8」までか。それとも「3.14…8…5」までか。それとも「3.14…8…5…9」までか。それとも「3.14…8…5…9…2」までか。という単純明快な質問にはまだ誰も答えていない。「ここまで」と言ってくれれば終わる話なのだが。「『どこまで』とは言えないけど有限と言ったら有限なんだいっ！！！」と駄々をこねられても…これはいよいよ教科書に載るか？

お礼日時：2023/06/03 17:40

No.33 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/02 22:47

このご質問がなんだか気になるのは、無限というものの厄介さをガチで味わった経験を思い出させる、ある意味懐かしいものにまつわる話だからかなあ（遠い目）。

　というわけで漫談を続けると：自然数は無限個あるけれど、「無限桁の自然数」なんてものはないし、「小さい順にならべたときに無限番目になる自然数」なんてものもない。ですが、超準解析学を学ぶと「超自然数」の集合N* というものが出てきます。「超自然数」は妄想じゃなくて、キッチリ定義されます。
　有限の超自然数n*は自然数n（普通の自然数）と1：1に対応するだけですが、N*には無限に大きい超自然数n*も存在する、というところがポイントです。すなわち、N*は自然数の集合Nが持っている「アルキメデス性」という性質を失って、（ご待望の）「どんな自然数よりも大きい超自然数」を無限個含んでいる。（もちろんその超自然数は、どんな実数よりも大きいわけで、従ってその逆数は「どんな実数rよりも0に近い」という性質を持ち、「無限小」と呼ばれます。超準解析が重要なのは、超準解析学で証明した定理の一部を、形式論理学のシカケを使って普通の自然数・実数の世界に引き写せる、という点にあります。この仕組みを使うことで、普通の関数の連続性だの微分法だのを、超準解析学の「無限小」を介して、極限操作なしに定義できる。なので、超準解析学は「無限小解析学」という別名でも呼ばれます。が、それはさておき、）
　ご質問の話題に戻りますと、自然数から実数の区間[0,1)への対応付けとして、自然数nを実数rへ
　　nの(下から)k桁目が、rの小数点以下k桁目である
という規則で写す写像を考えたっていいでしょう。たとえば
　　134 → 0.431
という具合。もちろん、どの自然数nも10進法で書けてその桁数は有限ですから、それに対応するrは（実数とは言いながら）有限小数に限られます。
　ここで自然数nを超自然数n*に差し替えたらどうなるか。（超自然数を10進法で書くという話は寡聞にして知りませんけど）n*を10で割った余りmがn*の(下から)1桁目、n*/10の小数点以下1桁目を取り除いたものを10で割った余りがn*の(下から)2桁目、…という風になるようにしつつ無限個の「桁」をうまく定義すれば、この写像を超自然数N*に拡張できそう。これが首尾よくできたとしますと、「超自然数n*の桁数」は無限になり得て、だから
　　rの小数点以下k桁目が、n*の(下から)k桁目である
という逆写像が定義できる。従って超自然数N*と実数の区間[0,1)は1:1対応する。つまり、N*はRと同じ濃度を持っている、ということになりますね。ですがN*とNは全く別物ですんで、やっぱり教科書は書き替わらない。

この回答へのお礼

この表に例えばπは存在しているだろうか。小数点以上が3の列において、「3.14」は42番目に、「3.141592」は295142番目に、「3.14159265358979」は97985356295142番目に出てくる。もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとして、「3.14…8」までか。それとも「3.14…8…5」までか。それとも「3.14…8…5…9」までか。それとも「3.14…8…5…9…2」までか。という単純明快な質問にはまだ誰も答えていない。「ここまで」と言ってくれれば終わる話なのだが。「『どこまで』とは言えないけど有限と言ったら有限なんだいっ！！！」と駄々をこねられても…これはいよいよ教科書に載るか？

お礼日時：2023/06/03 17:40

No.32 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/02 21:40

ちなみに「『無限桁』の自然数」というものを許すと, 10進表現では

-1/3 という「自然数」
が現れたりする. 具体的には
...33333
だが.

この回答へのお礼

...33333についてお尋ねしますが、3はいくつ並べることができますか。別の言い方をすれば、桁はどこまで増やせますか。有限の場合は、有限とは限りすなわちこの場合は上限があるということですが、上限は何桁ですか。無限の場合は桁を無限に増やした自然数の桁は何桁ですか。

お礼日時：2023/06/03 16:25

No.31 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/02 20:05

「nより大きいnの後者(n+1)が存在するから」というのは、

無限桁の偽自然数
「…9…9…9…9…9…999」に置き換えることができません

ペアノの公理(2)から
「
任意の自然数nに対して,
nより大きい
nの後者(n+1)が存在するから
」
の
任意の自然数nに対して,
の
n
は
有限桁でなければいけないのです

ペアノの公理(2)から

任意の有限桁自然数nに対して,
nより大きい
nの後者有限桁自然数(n+1)が存在するから
有限桁の自然数は無限にあり,
有限桁の自然数の上限は存在しない
有限桁の自然数が無限にあるのです

無限桁の偽自然数は自然数とはいいません
強いていうならば超限順序数というべき

自然数の個数に限りはないけれども

1つの自然数の桁数は有限なのです

1は有限桁数の自然数
2も有限桁数の自然数
3も有限桁数の自然数
…
nが有限桁数の自然数ならば
n+1も有限桁数の自然数

だから

ペアノの公理
「
(5)
1がある性質を満たし
自然数nがある性質を満たせば(n+1)もその性質を満たすとき
すべての自然数はその性質を満たす
」
から
すべての自然数は有限桁でなければならないから

無限桁の偽自然数は自然数といってはならない

この回答へのお礼

「…9…9…9…9…9…999」の桁はどこまで増やせますか。「どこまで」を明確にお答えください。

お礼日時：2023/06/03 16:35

No.30 回答者： 私で良ければお答え致します。 回答日時： 2023/06/02 19:45

No.22より

この定理は存在を証明するだけで、具体的な構成法を与えるものではありません。実数に整列順序を入れるということは、非可算無限個の元を順番に並べるということであり、人間には不可能な作業です。また、計算可能数上の順序関係は計算可能でないことも知られています。

したがって、実数の集合を整列させることはできないと思うのは正しいですが、それは整列可能定理が矛盾しているということではなく、選択公理が現実の思考や行動から逸脱したことを言っているということです。

この回答へのお礼

質問文の、実数の整列の仕方は、小さい方から順に並べたものではありません。規則性を持って並べたというだけのことです。

お礼日時：2023/06/03 16:31