すべての実数を整列させる方法を考えました。教科書が書き換わりますか？

すべての実数を整列させる方法を考えました。教科書が書き換わりますか？

まず

1→0.1
2→0.2
・
・
・
9→0.9
10→0.01
11→0.11
12→0.21
・
・
・
99→0.99
100→0.001
101→0.101
102→0.201
・
・
・
9999→0.9999
10000→0.00001
10001→0.10001
10002→0.20001
・
・
・
…835218→0.812538…
…835219→0.912538…
…835220→0.022538…
・
・
・

というように、すべての自然数と、0と1の間のすべての実数を、1対1に対応させる。右側が「0と1の間のすべての実数」であることに異論はあるだろうか。この列に存在しない(0と1の間の)実数は存在するのか。この列は、小数第一位の数字が1,2…9,0,1…9,0,1…となっているので、だいたいその値で推移しながら、実数が、0と1の間を無限に埋めていく形になっている。

で、すべての実数を整列させると

0,0.1,0.2…0.9,0.01,0.11,0.21…
1,1.1,1.2…1.9,1.01,1.11,1.21…
2,2.1,2.2…2.9,2.01,2.11,2.21…
・
・
・

(0),-0.1,-0.2…-0.9,-0.01,-0.11…
-1,-1.1,-1.2…-1.9,-1.01,-1.11…
-2,-2.1,-2.2…-2.9,-2.01,-2.11…
・
・
・

となる。この表に例えばπは存在しているだろうか。小数点以上が3の列において、「3.14」は42番目に、「3.141592」は295142番目に、「3.14159265358979」は97985356295142番目に出てくる。もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとして、「3.14…8」までか。それとも「3.14…8…5」までか。それとも「3.14…8…5…9」までか。それとも「3.14…8…5…9…2」までか。無限に並べたのに「ここまで」などということがあるだろうか。

で、すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させると、

1→0
2→0.1
3→-0.1
4→1
5→-1
6→2
7→-2
8→1.1
9→-1.1
10→0.2
11→-0.2
12→0.3
13→-0.3
14→1.2
15→-1.2
16→2.1
17→-2.1
18→3
19→-3
・
・
・

のようになるが、それとも自然数は途中で尽きてしまうだろうか。

有理数と同じわけに↓はいかないのか。

1/1,2/1,3/1…
1/2,2/2,3/2…
1/3,2/3,3/3…
・
・
・

1→1/1
2→1/2
3→2/1
4→3/1
5→2/2
6→1/3
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・
・

https://note.com/abikonobuhiro666/n/n22a8edbc3936

質問者からの補足コメント

• 

  自然数「9…999」の「…」にあなたができると思うだけ9を並べてください。その自然数までの自然数の個数は「9…999個」で有限の値になります。自然数はそのままその自然数までの自然数の個数を表しています。なので自然数が有限桁のものしかなければ自然数の個数は有限になります。有限桁の自然数までの自然数の個数が無限になることはありません。
  
  どの桁の9を見ても必ずその次の桁に9があり「最大の桁の9」を見ることができない「…9…9…9…9…9…999」という無限桁の自然数までの自然数の個数なら「…9…9…9…9…9…999個」という無限の値になり、このような自然数が存在する場合だけ「自然数の個数は無限」と言うことができます。

    補足日時：2023/06/02 13:38

• 

  この列にπあるいは無限小数は存在しないとのことですが、「どこまで」が言えないことは認めるのですよね。私も言えません。私は、「どこまで」とは言えないすなわち限りがないので無限小数もπも存在する、「限りがないので限りがない」と当然のことを言っています。ところがあなた方は「どこまで」とは言えないすなわち限りはないが無限小数もπも存在しない、「限りはないけど限りがある」とおかしなことを言っています。

    補足日時：2023/06/02 13:46

• 

  No.18さんが「『すべての実数を整列させる』こと（これができるのはよく知られている）」とおっしゃっているのですが、本当ですか。サイトがあれば貼っていただけるとありがたいです。

    補足日時：2023/06/02 14:28

• 

  「今野、そこにπはあるんか?」
  
  この表に例えばπは存在しているだろうか。小数点以上が3の列において、「3.14」は42番目に、「3.141592」は295142番目に、「3.14159265358979」は97985356295142番目に出てくる。もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとして、「3.14…8」までか。それとも「3.14…8…5」までか。それとも「3.14…8…5…9」までか。それとも「3.14…8…5…9…2」までか。という単純明快な質問にはまだ誰も答えていない。「ここまで」と言ってくれれば終わる話なのだが。「『どこまで』とは言えないけど有限と言ったら有限なんだいっ！！！」と駄々をこねられても…これはいよいよ教科書に載るか？

    補足日時：2023/06/03 17:35

• 

  無限桁の自然数が存在すること、あるいは、3の列のπに対応する自然数について、「一の桁が2、十の桁が4、百の桁が1…」と無限に続けることができることを証明する。
  
  簡単な証明
  
  1.「すべての自然数は有限桁の自然数＝すべての自然数はある桁以降無限に0が並ぶ」と仮定する。
  
  2.0は他の数字に置き換えることができるので、仮定は間違い。

    補足日時：2023/06/04 19:22

• 

  詳しい説明
  
  1.n桁には必ず次のn+1桁が存在するので、桁は無限に存在する。
  
  2.通常の自然数は、ある桁以降の桁が空白なだけで、桁そのものは無限に持っており、自然数を無限に大きくできるのは(あるいは、自然数はその自然数までの自然数の個数を表すから「自然数が無限に存在するのは」と言い換えてもいい)、その無限の空白の桁に数字を入れることができるからだ。すべての自然数は無限桁であり、そのうちの、ある桁以降無限に0が並ぶものを有限桁の自然数あるいは単に自然数と呼んでいるに過ぎず、真に存在しないのは有限桁の自然数の方なのである。
  
  3.「すべての自然数は有限桁＝すべての自然数はある桁以降の桁が空白あるいはある桁以降無限に0が並ぶ」は間違いである。なぜなら、空白には数字を入れることができるし、0は他の数字に置き換えることができるからである。

    補足日時：2023/06/04 19:25

• 

  4.自然数を「有限桁の自然数」に限定するのは、定義であり、公理とは程遠く、自然数の本質を、損ない、見誤らせることになり、現に数学に携わるほとんどすべての者が見誤っている。
  
  5.「有限桁の自然数」の方が縮小であり、「無限桁の自然数」は、屁理屈でも拡張でも拡大解釈でもなく、これこそが自然数の本質であり公理なのである。
  
  6.ちなみに、計算や大小を比べることができるのはいわゆる「有限桁の自然数」だけであり、自然数の場合は、「…0001」に1を足した「…0002」といった背景がわからなければ「…0001」と「…0002」の大きさを比べることはできない。それが自然数の本来の性質である。

    補足日時：2023/06/04 19:28

• 

  訂正
  
  6.ちなみに、計算や大小を比べることができるのはいわゆる「有限桁の自然数」だけであり、自然数は、その自然数までの個数が無限であるため、二つの自然数のそれぞれの自然数までの自然数どうしは全単射が可能で、たとえ「…0001」に1を足した「…0002」という背景があっても、何らかの解決策がない限り両者の大きさは同じになる。

    補足日時：2023/06/05 14:44

• 

  また、「…999」のように、9を無限に並べることはできても、すべての桁に9を並べることはできない。これは、実数を無限に並べることはできてもすべての実数を並べることはできないというのに似ている。「…999」は、「最大の桁の9」を見ることはできないという状態であり、すべての桁に9が並んでいるわけではない。これに1を足せば「…000」になり、これは同じく「最大の桁の1」を見ることはできない状態である。これに無限に1を足していけば再び「…999」になるが、前の「…999」も後の「…999」も「…000」もすべて同じ大きさになる。

    補足日時：2023/06/05 14:45

• 

  「…333」と、次の桁に3を入れまたその次の桁に3を入れ…というように、あなた方の言う自然数の範囲で、可能な限り3を入れてできた自然数はどのようなものになりますか。「3…333」ですか。次の桁が空いてますよ。
  
  この表にπもそれに対応する自然数も存在しない、限りなくそれに近づくがどちらも存在しないということであれば、自然数の個数についても同じことが言えるのではないですか。自然数の個数は限りなく無限に近づきはしますが決して無限にはなりませんよ。あなた方の自然数に対する認識が正しいなら自然数の個数は有限になります。
  
  「問答はしまいじゃ」by山本元柳斎重國。次の質問でまたお会いしましょう。

    補足日時：2023/06/06 10:13

No.29 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/02 18:32

←No.19 補足

＞ No.10の方に「…97985356295242」番目と回答しています。この後は、
＞ 「…2…9…0…3…6…5…2…2…2…4…7…0…0…1…9…8…3…7…97985356295242」と、
＞ あなたが続けられると思うところまで続けてください。

いや、続けられるとこまで続けて、そこで止めてしまったら。
その番号は、π の番号じゃないから。
番号のほうを n桁で止めたとすれば、その番号に対応する実数は
π を小数第 n-1 位までに切り捨てた有限小数であって、π 自身ではない。

途中で止めずに「…97985356295242」の左方を無限桁続けてしまったら、
その「番号」の値は発散してしまって、自然数ではない。
あなたのやり方では、自然数には有限小数しか対応させてないんだよ。

くれぐれも、「『ここまで』という限りはないけど自然数である」みたいな
おかしなことは言わないように。それでは会話が成立しないので。

この回答へのお礼

＞途中で止めずに「…97985356295242」の左方を無限桁続けてしまったら

途中で止めなければならない限界があるということですね。その限界は何桁ですか。

お礼日時：2023/06/03 16:38

No.28 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/02 18:24

＞ No.10の方に「…97985356295242」番目と回答しています。

＞ この後は、「…2…9…0…3…6…5…2…2…2…4…7…0…0…1…9…8…3…7…97985356295242」と、
＞ あなたが続けられると思うところまで続けてください。

続けられるとこまで続けてそこでやめてしまったら、その番号に対応する実数は、
番号 n 桁に対して π を小数第 n-1 位で打ち切ったもの。π 自身じゃあないよ。
番号の左端を止めずに「…」で無限に続けてたら、その「番号」は自然数ではない。
くれぐれも、「『ここまで』という限りはない」みたいなおかしなことは言わないように。
それでは会話が成立しないからね。

この回答へのお礼

＞続けられるとこまで続けてそこでやめてしまったら、その番号に対応する実数は、番号 n 桁に対して π を小数第 n-1 位で打ち切ったもの。π 自身じゃあないよ。

それは共通認識です。

＞くれぐれも、「『ここまで』という限りはない」みたいなおかしなことは言わないように。

「ここまで」という限りがあるということですね。それは小数第何位、あるいは何桁ですか。いままで「『限りはないが限りがある』みたいなおかしなことを言わないでください」と勘違いして失礼なことを言ってすみませんでした。「限りがあるから限りがある」ということだったんですね。で、その「限り」は小数第何位、あるいは何桁ですか。

お礼日時：2023/06/03 16:47

No.27 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/02 15:47

補足2023/06/02 13:38について

1は有限桁の自然数である
nが有限桁の自然数であるならば
(n+1)も有限桁の自然数であるから
ペアノの公理(5)から
すべての自然数は有限桁である
といえるから
無限桁の自然数は存在しない
だから
自然数は有限桁のものしかないのです

ペアノの公理(2)から
任意の自然数nに対して,
nより大きい
nの後者(n+1)が存在するから
自然数は無限にあり、上限は存在しない
だから
自然数の個数は無限なのです

有限桁の自然数が無限にあるのです

これを認めないならば
ペアノの公理を認めない事になり
自然数の存在を認めない事になるのです

この回答へのお礼

「nより大きいnの後者(n+1)が存在するから」というのは、「…9…9…9…9…9…999」に置き換えることができます。「n桁」には必ずそれより大きい「n+1桁」があるので、桁をできうる限り増やした場合は「9…999」とはならず「…9…9…9…9…9…999」となります。「9…999」には最大の桁があるわけですがもう桁を増やせませんか。そんなことはないですよね。「99…999」で終わりですか。違いますよね。桁をできうる限り増やしたら「…9…9…9…9…9…999」という無限桁の自然数になります。桁は無限に増やせるのか増やせないのかという話です。桁に上限はないですよね。上限がないとは無限のことです。無限に桁を増やした自然数の桁が有限などということはありません。再三述べておりますが、あなたは「限りはないが限りがある」とおかしなことを言っているのです。

お礼日時：2023/06/02 16:36

No.26 回答者： amelielico 回答日時： 2023/06/02 15:43

似ても似つかぬデデキント切断などと比較して大変失礼しました。

自然数を0から1の範囲の実数に対応させて、それ以降の実数を小数点以下の桁数によって整列させるという方法でしたね。
実数を理解するという意味で意義のある視点を提供していただきました。
ありがとうございます。
昔からたくさんの人がいろんなアプローチで実数の整列を試みてきましたが、この方法では、10進法や2進法でなく新たな実数の表現方法で異なるアプローチや視点を提供しています。
また、提案された数列は、無限に続く小数部分によって実数を表現し、無限や収束について考察を深めている点でも面白いですね。
この方法での無理数やπやeの表現問題、
また、自然数・有理数に関しては無限性に関する問題など課題も多く存在しますね。勉強になりました。ありがとう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2023/06/02 16:18

No.25 回答者： amelielico 回答日時： 2023/06/02 15:06

すべての実数を整列させる方法は存在しません。

すべての実数を整列させる方法は、許可書に載っている絶対値の大きさで整列させる方法ではありません。あなたの提示したデデキント切断もまたすべての実数を整列させる方法ではありません。

あなたへの反論は、（１６や１８や１４のように）ほとんどの場合、相手の不正確さによって横道にそれています。（１５や１９のように）正しい反論もありますが…

教科書にのるためには、「すべての」実数を整列してみる必要があるでしょうね。

この回答へのお礼

その前にデデキント切断は私が提示したものではありません。

この列にπは存在しないというご意見ですね。補足も参照の上、No.19が正しいコメントということでしたら、代わりにお答えいただけると助かります。

No.10の方に「…97985356295242」番目と回答しています。この後は、「…2…9…0…3…6…5…2…2…2…4…7…0…0…1…9…8…3…7…97985356295242」と、あなたが続けられると思うところまで続けてください。もし「ここまで」と具体的にストップできたらπが存在しないことを認めます。くれぐれも「『ここまで』という限りはないけど限りがある」みたいなおかしなことは言わないようにお願いします。それでは会話が成立しないので。

お礼日時：2023/06/02 15:15

No.22 回答者： 私で良ければお答え致します。 回答日時： 2023/06/02 14:47

実数の整列可能性は、デデキント切断という概念を用いて証明できます。

例えば、実数の集合を A = {x | x < 0 または x2 < 2} と B = {x | x > 0 かつ x2 > 2} に分けると、この切断は√2に対応します。このようにして、実数の集合を切断する方法は非可算無限個ありますが、それらはすべて整列順序を持ちます。すなわち、任意の二つの切断に対して、どちらが大きいか小さいかが決まります。この整列順序は実数の通常の大小関係と一致します。したがって、実数の集合は整列可能であると言える。

この回答へのお礼

任意の二つの切断に対してどちらが大きいか小さいかが決まっても実数を整列させることはできないと思うのですが、具体的にはどんな感じになるのでしょうか。

お礼日時：2023/06/02 15:00

No.21 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/02 14:46

No.18では「整列」と「番号を付けること」は全く別だって言ってるんですが、それすら読み取れんですか？

>サイトを貼っていただける

　そんな安易なサイトがあるのかしらん。いやいや、本一冊貼らないとダメだろうな。「整列」については地道に勉強なされよ。ちなみに「選択公理」は「あらゆる集合は整列可能である」ことを保証しますが、実数ゴトキを整列するんなら「選択公理」は必要ない。「数直線」とか仰っているものこそ、”実数が整列された姿”のことです。

この回答へのお礼

＞「整列」と「番号を付けること」は全く別だって言ってるんですが、それすら読み取れんですか？

それには何も言ってませんが。「『すべての実数を整列させること』（これができるのはよく知られている）」というのは聞いたことがないとそのまま申し上げただけです。

＞「数直線」とか仰っているものこそ、”実数が整列された姿”のことです。

おお！！これは意見が一致します。

お礼日時：2023/06/02 14:55

No.19 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/02 13:46

で、質問文の方法で、π の番号は具体的に何番になると思うの？

皆が、π に番号が付かない理由を書いてんだけど。

この回答へのお礼

No.10の方に「…97985356295242」番目と回答しています。この後は、「…2…9…0…3…6…5…2…2…2…4…7…0…0…1…9…8…3…7…97985356295242」と、あなたが続けられると思うところまで続けてください。もし「ここまで」と具体的にストップできたらπが存在しないことを認めます。くれぐれも「『ここまで』という限りはないけど限りがある」みたいなおかしなことは言わないようにお願いします。それでは会話が成立しないので。

お礼日時：2023/06/02 14:48

No.18 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/02 11:29

ちなみに、「すべての実数を整列させる」こと（これができるのはよく知られている）と「すべての実数に自然数で番号を振る」こと（これができないのもよく知られている）とは全く別の話だということがお分かりでない。

　「整列」がどういう意味なのかを理解するには「順序」の知識が、「番号を振る」のがどういうことなのかを理解するには「序数」と「基数（集合の濃度、集合の要素の個数）」を区別することが必要ですが、どっちも高校程度の知識だけで類推するのはちょっと無理だと思う。

さらに、個人情報を晒したがるのは、サイトの規約違反だと思う。

この回答へのお礼

＞「すべての実数を整列させる」こと（これができるのはよく知られている）

えっ？初耳です。どうやるのですか。必ず教えて下さい。サイトを貼っていただけるとベストです。これまでは「すべての実数を整列させることはできない」とされていたはずですが。

すべての有理数を整列させる方法はよく知られていますが。

お礼日時：2023/06/02 13:05

No.17 回答者： 私で良ければお答え致します。 回答日時： 2023/06/02 08:22

あなたが考えた方法は、自然数と0と1の間の実数を1対1に対応させることができるようですが、0と1の間にあるすべての実数を含んでいるかどうかは疑問です。

例えば、0.101001000100001…のように、0と1の間に無限個の0と1が交互に現れるような実数は、あなたの方法ではどこに対応するでしょうか？

また、あなたの方法では、実数全体を整列させることができるかどうかも不明です。

例えば、πや√2などの無理数は、あなたの方法ではどこに位置づけられるでしょうか？