
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>x^nが既約であるためにはnが二のべきであることが必要十分である
そんなわけない.
x^n の段階ですでに「可約」なのは明らか
n=0の場合は,単元なのでそもそも考慮外.
問題を正しく述べましょう
===========================
とはいえ・・・ x^n + 1 だろうという想像はつく
pを奇素数とする
(-1)^p + 1 = 0であるので
x^p + 1 は x+1 で割り切れる
nが2のベキではないとすると,
nは奇素数pを約数として持つので n=rp とする
x^r = X とおけば
x^n + 1 = X^p + 1 は X+1 で割り切れる
よって,
x^n +1 は既約ではない
つまり,
「x^n + 1 が既約」ならば「nは2のベキ」
逆の証明だけど・・・んーーずるっこしよう
つぎにnが2のベキである,つまりn=2^rとする
ここで,2n次の円分多項式F_(2n)(x)を考える
円分多項式は既約である.
F_(2n)(x) = (x^(2n)-1)/(F_1 F_2 F_4 ・・・ F_(2^{n-1})) = x^n + 1であることをしめす
帰納的に
F_1(x) = x -1
F_2(x) = x +1
F_4(x) = (x^4-1)/(x-1)(x+1)=x^2+1
F_8(x) = (x^8-1)/(x-1)(x+1)(x^2+1) = (x^4-1)(x^4+1)/(x^4-1) = x^4 +1
とわかるので
x^n+1 は 既約
とまあ,厳密には帰納法できちんとかけばいい
問題は「円分多項式が既約」ということを既知としてよいかという点.
有名な定理だからいいかもしれないが
いろいろな事情でダメかもしれない.
この回答へのお礼
お礼日時:2011/11/23 17:56
ありがとうございます。
記載ミスに気付いたのですが訂正の方法がわからなくて読み取っていただいてありがとうございます。
この内容で文章作ってみます。ありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
既約とは、分数の分母・分子が1以外の公約数をもたないこと(既約分数)。
また、整数や整式が二つ以上の因数の積に分解できないこと。nが2のべき乗でないとき、27/8 は既約分数でないから、前者の意味ではないね。2のべき乗であっても、36は、2,3,4,9,12,18を因数に持つから、後者でもないね。
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