数学A 写真の問題(2)ですが、512と675の素因数分解をした先が分かりません。

数学A
写真の問題(2)ですが、512と675の素因数分解をした先が分かりません。

質問者からの補足コメント

• 解答です

  
    補足日時：2019/11/04 22:07

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/11/05 11:41

n³/512は約分して自然数になるからn³は512の倍数でないといけない

つまり,n³＝2⁹x自然数,でないとならない（←←←n³は2を因数に持っている）
この事から自然数ｎは少なくとも2を因数にもつことが分かります（nが2を因数に持たなければ、3乗したn³も２を因数に持たないから）

同様に、n²/675は約分して自然数になるからn²は675の倍数でないといけない
つまりn²=３³x5²x自然数　でないとならない（←←←n²は3と５を因数に持つ）
この事から自然数ｎは少なくとも３と５を因数にもつことが分かります（nが３，５を因数に持たなければ、２乗したn²も3,5を因数には持たないから）

統合してnは２，３，５を因数にもつと言える
ただし、因数2,3,5の個数まではよく分からないから
ｎの因数は2がa個、３がb個、5がc個、
つまりn=2^a・3^b・5^cというように、文字を使って仮置きしておく
なお、nが2,3,5以外の素因数を持つことも考えられる（つまりｎの因数は2がa個、３がb個、5がc個、加えて7がd個１１がe個・・・となる状況も考えられる）が、最小のnを考えるのでn=2^a・3^b・5^cで良い
と言うのも、n=2^a・3^b・5^cならn³/512とn²/675の両者は約分後、自然数となるから
７や１１などの余計な素因数をつけ加えてnを必要以上に大きくすることは無用
以下指数法則で計算してもらえばよいが、
n=2^a・3^b・5^cは2がa個、３がb個、5がc個だから
n³=nxnxnは2が３a個、３が３b個、5が３c個なので
n³＝2^3a・3^3b・5^3c
従って,n³/512=2^3a・3^3b・5^3c/2⁹
約分は分子の一部：2^3aと、分母：2⁹の２者の間で可能
分母2⁹が約分で消えないと自然数にならないので、
分子の２の個数は９個以上でないといけない
ゆえに3a個≧9個・・・①
同様に考えてn²=2^2a・３^2b・５^2c
よってn²/675=2^2a・３^2b・５^2c/(3³・5²)
約分で分母が消えるためには
３について、分子の2b個が分母の３個より多くなくてはいけない→2b≧3
5について、分子の2c個が分母の2個より多くなくてはいけない→2c≧2…②
締めに、①②の不等式を満たす最小のa,b,cを求めると画像通り　ということです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
3a≧9の意味もわからなかったので解決できました。

お礼日時：2019/11/18 23:01

No.2 回答者： BAY19981026 回答日時： 2019/11/05 01:24

ｎ³/512とｎ²/675がともに自然数になるためには、

ｎ³が512の倍数であり、かつn²が675の倍数であればいいのですが、512=2⁹、675=３³×５²なので、
ｎ³が512=2⁹の倍数であるためにはｎが2³＝８の倍数であればいい。
また、ｎ²が675=３³×５²の倍数であるためには、n²が３⁴×５²の倍数であればよく、これはｎが３²×5=45の倍数であればいい。
従って求めるｎは８と４５の最小公倍数なので、360ですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
回答の解き方と違って手間が省けますね。2通りの解き方で覚えておきたいと思います。

お礼日時：2019/11/18 22:57

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/11/04 23:44

n^3/512 , n^2/675 がともに自然数になるためには、自然数ｎは、2，3，5を素因数にもつ必要があります。

それ以外の数を素因数にもっても構いませんが、求めるものは最小の自然数ｎなので、ここではそれ
以外の数は素因数にもたない場合を考えます。
そこで、
n=(2^a)(3^b)(5^c) とおけます。(a,b,c は自然数)
n^2={(2^a)(3^b)(5^c) }²=(2^a)²(3^b)²(5^c)²=(2^2a)(3^2b)(5^2c)
n^3={(2^a)(3^b)(5^c) }³=(2^a)³(3^b)³(5^c)³=(2^3a)(3^3b)(5^3c)
となります。

n^3/512=(2^3a)(3^3b)(5^3c)/2^9 となり、これが自然数となるには、a,b,c は自然数なので、
3a≧9 , (3b≧3 , 3c≧3)……①
n^2/675=(2^2a)(3^2b)(5^2c)/(3^3)(5^2)
(2a≧2) , 2b≧3 , 2c≧2……②

①、②を満たす最小の自然数 a , b , c は
a=3 , b=2 , c =1
よって、求める自然数ｎは
n=(2³)(3²)(5¹)=360

この回答へのお礼

ありがとうございます。
長いけど紙に書きながら解いていったらできました。

お礼日時：2019/11/18 23:03