「単純代数拡大L⊃K(α)⊃Kの場合、ガロア群の位数に関する不等式について|Gal(L/K)|≦[L:K]が成立する」ことに対する証明問題について考えています。
「環と体の理論(酒井文雄著)p110」には、原始元αのK上の最小多項式をf(x)とし、XをLにおけるfの根の集合としたとき、写像Gal(L/K)∋σ→σ(α) ∈Xが単射であると書かれていますが、この理由がわかりません。
(例えば、簡単な具体例L=C,K=Rのときにはわかります。)
もしもおわかりになる方がいらっしゃれば、お教え頂けないでしょうか?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
単射であることを言うためには、τをGal(L/K)のもう1つの元として、
(1) τ(α) = σ(α) なら、τ = σである
ということを言えばよいわけです。また、τ = σというのは、
(2) L の任意の元wに対して、τ(w) = σ(w) である
ということです。
さて、キーポイントは、αが原始元だということです。すなわち、L の任意の元wは、Kを係数とする適当な多項式 g(x) により、w = g(α) と表すことができます。すると、次のようになります。
τ(α) = σ(α)
⇒ τ(w) = τ(g(α)) = g(τ(α)) = g(σ(α)) = σ(g(α)) = σ(w)
⇒ τ = σ
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