有限生成環から体へのC代数準同型写像についての質問

Rを有限生成環、kを体、Cを複素数体とします。
このとき、任意のC代数準同型Φ:R→kに対して、Φ(r)が0ではないとき、
rは単元（つまり、rはR内で逆元を持つ）となることを示したいのですが、どのように示せばよいでしょうか。

kが体なので, Φ(r)のkでの逆元は存在するので、それをbなどとしたとき、bがΦの像に入っていればどうにかなるのではと思ったのですがうまくいきません。
C代数準同型の任意性をうまく使うことが必要だと思うのですがどのように考えればよいでしょうか。

よろしくお願いいたします。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/03/08 13:57

Rの元rについて「Φ(r)≠0 ⇒ rは逆元を持つ」ということは「rは逆元を持たない ⇒ Φ(r)=0」ということ。

で、Rの複数の元が逆元を持たない場合、どんなΦが準同型になるかと考えてみては？