数学Ⅲ

問題:a1=0,an+1=√(2a+4)を満たす数列｛an｝について、n→∞のときの数列｛an｝の極限を求めよ。
この問題をはさみうちの原理を使って解こうとして、途中でわからなくなりました。どのようにして、解けばよいのか教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/06 14:19

a[1] = 0, a[n+1] = √(2a[n] + 4) ってことかなあ。

こうゆうのって、たいてい、
収束性は度外視して極限の値を推定してしまってから、
(a[n] - 極限の推定値) が 0 に収束することを示すのが楽。

lim a[n] = A とすると、漸化式より A = √(2A + 4) だから
両辺２乗して２次方程式を解けば、A = 1 + √5.　←[＊]

y = √(2x + 4) と y = x のグラフを書いて眺めれば
a[n] < A のとき a[n] < a[n+1] < A,
a[n] > A のとき A < a[n+1] < a[n]
であることが判るから、
0 ≦ ｜a[n+1] - A｜ < ｜a[n] - A｜.

数列 ｜a[n] - A｜ は、下に有界な単調減少列だから収束するが、
a[n] が収束するならば、その値は [＊] なのだった。

この回答へのお礼

本当に、ありがとうございます。極限を推定してしまう方針が良いというのは気づかなかったです。あと、問題の書き方が誤解を招くようなものになってしまってすみませんでした。

お礼日時：2024/01/07 10:24

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/01/06 09:04

あと, あなたのいう「この問題をはさみうちの原理を使って解こうとして、途中でわからなくなりました。

」というのを具体的に説明してほしい.

なにをどう考えた? そのストーリーに沿って, どこまでできていてどこで何に困っている?

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/01/05 23:32

漸化式がおかしくないか?